الدوال المثلثية

تعريف الدوال[م] المثلثية

لدينا مثلث قائم ABC المبين في الشكل المجاور. تعرف الدوال المثلثلية للزاوية الحادة http://www.mathramz.com/math/files/t...67107ad1ff.png على النحو التالي

جا هـ = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية هـ والوتر[م]

جتا هـ = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية هـ والوتر
ظا هـ = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية هـ والضلع المجاور لها أو بأنها حاصل قسمة جاهـ على جتا هـ
قتا هـ (قاطع جا ) = مقلوب جا هـ , النسبة بين الوتر والضلع المقابل للزاوية هـ
قا هـ (قاطع جتا ) = مقلوب جتا هـ , النسبة بين الوتر والضلع المجاور للزاوية هـ
ظتا هـ (قاطع ظا ) = مقلوب ظا هـ , النسبة بين الضلع المجاور للزاوية هـ والضلع المقابل لها
أو بأنها حاصل قسمة جتاهـ على جا هـ
http://www.mathramz.com/math/files/i...ric_law_10.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...c1090c3a30.png
تعريف الدوال الدائرية

http://www.mathramz.com/math/files/i...ric_law_20.png هنا أسلوب آخر لتعريف الدوال المثلثية عن طريق دائرة[م] الوحدة (الدائرة التي مركزها نقطة أصل المحورين في المستوي ونصف قطرها الوحدة) حيث يسمح بتمديد قيمة الزاوية لتشمل أي عدد حقيقي وعادة ما تسمى الدوال السابقة في هذه الحالة " الدوال الدائرية" والبعض يبقى على مسمى الدوال المثلثية. خصائص التناسب تجعل هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق عند الاقتصار على الزوايا[م] الحادة موجبة القياس.
إذا كان رأس الزاوية على أصل المحورين وضلعها المن التعليم الابتدائي على الجزء الموجب من المحور الأفقي (وهذا يسمى الوضع القياسي للزاوية) وكان ضلعها الثاني يقطع دائرة الوحدة عند النقطة [IMG]http://www.mathramz.com/math/files/tex/90cbc22edf225***8a68974f51227f05.png[/IMG]فإننا نعرف الدوال الدائرية على النحو التالي:



http://www.mathramz.com/math/files/t...67c77689cb.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...7cfa2b05cc.png

جذور الدوال المثلثية

كلا من الدالة sin و cos دورية بدوره طولها http://www.mathramz.com/math/files/t...ee351d1df6.pngولكل واحدة منهما جذرين في الدورة الواحدة وبشكل عام فإن :
http://www.mathramz.com/math/files/t...7aa27412cf.png
من خلال تعريف الدالة tan فإن http://www.mathramz.com/math/files/t...0bfddb6996.png وباتالي جذورها نفس جذور دالة sin لذلك


http://www.mathramz.com/math/files/t...2353588221.png
باستبدال x,y بالدالتين cos , sin نستطيع تقديم صورة أخرى أكثر فائدة للدوال السابقة كما يلي:
http://www.mathramz.com/math/files/t...0ac29346c7.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...6a096a3621.png

متطابقات أساسية


http://www.mathramz.com/math/files/t...efc9ea58a7.png

متطابقات التبسيط

http://www.mathramz.com/math/files/t...fc93a121d1.png

وبالتالي فإنه لكل http://www.mathramz.com/math/files/t...5147aeb299.png فإن

http://www.mathramz.com/math/files/t...4c67585670.png

متطابقات ضعف الزاوية

http://www.mathramz.com/math/files/t...12fbcd4d97.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...4ee4052e95.png

متطابقات نصف الزاوية


http://www.mathramz.com/math/files/t...14d522ba88.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...c14eda1396.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...b0fec9f37b.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...c5e1440a9a.png

متطابقات ثلاثة أمثال الزاوية

http://www.mathramz.com/math/files/t...a7749c4eb7.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...e8f1f5c50c.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...d0c34f5037.png

متطابقات المجموع والفرق بين زاويتين

http://www.mathramz.com/math/files/t...0d3c729338.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...63c0c3bee3.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...16f540fbd7.png


متطابقات التحويل[م] من ضرب إلى جمع

http://www.mathramz.com/math/files/t...968fbe8885.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...ba51f361a5.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...53dc97236e.png

متطابقات التحويل من جمع إلى ضرب

http://www.mathramz.com/math/files/t...0ef1b55f0b.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...d06e27a788.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...e4f06f0612.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...73b30ade94.png


علاقة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة

1) صيغة ديموافر de Moivre's حيث i هي الوحدة التخيلية, وهو عدد مركب يحقق http://www.mathramz.com/math/files/t...60337d0223.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...b8d9091bb9.png
2) متطابقة أويلر

http://www.mathramz.com/math/files/t...6a0a19e29f.png

3) بالجمع مرة وبالطرح مرة مع تذكر أن http://www.mathramz.com/math/files/t...8385f05f19.png نحصل على صيغة للدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية


http://www.mathramz.com/math/files/t...32d24caa0e.png

متطابقات تخفيض قوى الدوال المثلثية

http://www.mathramz.com/math/files/t...70b9f39e3f.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...d058cccb1f.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...8dcbc24f53.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...1b95490033.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...9c0db704d6.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...1cef15419e.png

متطابقات مجموع ثلاث زوايا

http://www.mathramz.com/math/files/t...9745572c4a.png

http://www.mathramz.com/math/files/t...ee76fe9ebb.png

مجاميع مثلثية

http://www.mathramz.com/math/files/t...86b444e81d.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...ae8ac57e57.png
http://www.mathramz.com/math/files/t...d54816ed48.png
حالة خاصة
http://www.mathramz.com/math/files/t...7e4712474a.png

https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.n...93518507_n.png
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى©