دروس مفصلة و مقالات في فلسفة المادة الرياضيات.....
..اوراق فلسفية متناثرة ...في درس المادة الرياضيات...استطعت جمعها.. من منتديات تعليمية شتى...اضعها بين ايدي طلاب منتدانا...ارجو صادقا....الاستفادة منها
ترشة عمار- من التعليم الثانوية حساني عبد الكريم- الوادي
http://img15.imageshack.us/img15/5431/z112.gif
معيار الحقيقة في المادة الرياضيات أيكمن في البداهة والوضوح ؟
المقدمة (طرح المشكلة)
توصف المعرفة الرياضية بالصناعة الصحيحة واليقينية في منطلقاتها ونتائجها، لكن التساؤل عن معيار اليقين في المادة الرياضيات كشف انه ليس معيارا واحدا في المادة الرياضيات الاقليدية والمادة الرياضيات المعاصرة، ذلك ان المادة الرياضيات الاقليدية تعتقد جازمة ببداهة ووضوح مبادئها وترى فيها النموذج مقترح الوحيد في الصدق المطلق، اما الرياضيي المعاصر فلا تهمه المباديء ذاتها لأنها تشكل مقدمات في النسق الرياضي ، بقدر ما يهمه النسق الرياضي في مجمله أي أن عدم تناقض المقدمات مع النتائج هو معيار اليقين في المادة الرياضيات. وفي ذلك نطرح السؤال التالي:
هل معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها ام يتمثل في اتساق نتائجها مع مقدماتها؟
الاطروحة الاولى (معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها)
أسست المادة الرياضيات الكلاسيكية مادة التاريخيا قبل عصر النهضة بقرون عدديدة قبل الميلاد على يد فيلسوف ورياضي يوناني مشهور اسمه اقليدس (306ق.م/253ق.م)، اذ سيطؤت مادة الرياضياته الكلاسيكية على العقل البشري الى غاية القرن التاسع عشر الميلادي، حتى ضن العلماء انها المادة الرياضيات الوحيدة التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية.
اعتمدت المادة الرياضيات الكلاسيكية على مجموعة من المباديء او المنطلقات التي لا يمكن للرياضيي التراجع في البرهنة عليها الى ما لا نهاية، فهي قضايا اولية وبدئية لا ايمكن استخلاصها من غيرها،وهي مباديء لاتحتاج الى برهان على صحتها لانها واضحة بذاتها من جهة ولانها ضرورية لقيام المعرفة الرياضية من جهة اخرى، يستخدمها الرياضي في حل كل قضاياه الرياضية المختلفة، فما هي هذه المياديء؟
التعريفات الرياضيةdefinitions mathematiquales
هى اولى القضايا التى يلجأ اليها الرياضى من اجل بناء معنى رياضى واعطائه تمييزا يختلف عن غيره من المعانى الرياضية الاخرى، ومن أهم التعريفات الاقليدية الرياضية، نجد تعريف المثلث بانه شكل هندسى له ثلاثة اضلاع متقاطعة مثنى مثنى مجموع زواياه تساوى 180درجة. والنقطة هي شكل هندسي ليس لها ابعاد، او هي حاصل التقاء خطين. والخط المستقيم هو امتداد بدون عرض.
البديهيات les axiomes
هى قضايا واضحة بذاتها،صحيحة وصادقة بذاتها لاتحتاج الى دليل على صحتها براى الكلاسيكيين، أى لايمكن للعقل اثباتها أي تفرض رائع نفسها على العقل بوضوحها لانها تستند الى تماسك مباديء العقل مع ذاته، فهي قضايا قبلية نشأت في العقل قبل التجربة الحسية، فهي قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان او استدلال، كما انها قضايا تحليلية موضوعها لايضيف علما جديدا الى محمولها، ومنها بديهيات اقليدس التى تقول:
ان الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل.
الكميتان المساويتان لكمية ثالثة متساويتان.
وبين نقطتين لايمكن رسم الا مستقيما واحدا.
وأذا أضيفت كميات متساوية الى اخرى متساوية تكون النتائج متساوية.
المصادرات les postulats
تسمى احيانا بالاوليات واحيانا بالموضوعات .واحيانا بالمسلمات لان الرياضى هو الذى يضعها فهى اذن قضايا لانستطيع البرهنة على صحتها وليست واضحة بذاتها، أى فيها تسليم بالعجز، ولذلك نلجأ الى التسليم بصحتها. ومن مصادرات اقليدس نجد:
مثلا من نقطة خارج مستقيم لانستطيع رسم الا مستقيما واحدا مواز للمستقيم الاول.
المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لايلتقيان.
المكان سطح مستوي درجة انحنائه يساوي صفر وله ثلاثة ابعاد هي الطول والعرض والارتفاع.
مجموع زوايا المثلث تساوى قائمتين.
وتسمى هذه المبادىء فى مجموعها بالمبادىء الرياضية الكلاسيكية او بمبادىء النسق الاكسيوماتيكى نسبة الى كلمة اكسيوم والتى تعنى فى مادة اللغة العربية البديهية. وهو نسق قائم على التمييز بين هذه المبادىء الثلاثة.
مناقشة (نقد الاطروحة)
ان الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19 مأخوذة كحقيقة رياضية مطلقة، اصبحت تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة وما كان ثابتا ومطلقا اصبح متغيرا ونسبيا،وفي هذا المعنى يقول بوليغان bouligand (( ان كثرة الانظمة في الهندسة لدليل على ان المادة الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة.)). فماهي هذه الانظمة التي نزعت من المادة الرياضيات الكلاسيكية صفة اليقين المطلق؟
الاطروحة الثانية (معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل في اتساق النتائج مع المقدمات)
لقد حاول الرياضيون في مختلف العصور ان يناقشو مباديء الهندسة الاقليدية، ولم يتمكنوا منها الا في العصر الحديث، وهي اطروحة ترى ان معيار الصدق في المادة الرياضيات لا يتمثل في وضوح المباديء وبداهتها ولكن يتمثل في مدى انسجام وتسلسل منطقي بين الافتراضات او المنطلقات وبين النتائج المترتبة عنها، وهي اطروحة حديثة تتعرض بالنقد والتشكيك في مباديء ونتائج المادة الرياضيات الكلاسيكية. اطروحة مثلها الفرنسي روبير بلانشي والروسي لوبا تشيفسكي والالماني ريمان. فما هي هذه الانتقادات والشكوك؟
انتقد الفرنسى روبير بلانشى فى كتاب كامله(الاكسيوماتيكا) المبادىء الثلاثة للمادة الرياضيات الكلاسيكية:
* التعريفات الاقليدية ووصفها بانها تعريفات لغوية لاعلاقة لها بالحقيقة الرياضية فهى تعريفات نجدها فى المعاجم اللغوية فهى بذلك لاتهم الا اللغة.
* هى تعرفات وصفية حسية تصف المكان الهندسى كما هو موجود حسيا فى ارض الواقع وهى بذلك تعريفات تشبه الى حد بعيد التعريفات فى العلوم الطبيعية.
* هى تعريفات لانستطيع الحكم عليها بانها صحيحة او خاطئة فاذا اعتبرناها نظرية وجب البرهنة عليها، واذا لم نقدر على ذلك وجب اعتبارها مصادرة، وهذا معناه ان التعريفات الاقليدية فى حقيقتها عبارة عن مصادرات.
* انتقد بلانشى ايضا بديهية اقليدس (الكل اكبر من الجزء) معتبرا انها بديهية خاطئة وليست صحيحة، اذ ثبت انها صحيحة فقط فى المجموعات المنتهية.
* انتقد بلانشى البديهية ايضا معتبرا انها صحيحة وصادقة ولاتحتاج الى برهان فى المنطق القديم لكن فى المادة الرياضيات المعاصرة البديهيات قضايا يجب البرهنة على صحتها واذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أى مصادرة.
* اما المصادرات فباعتبارها مسلمات او موضوعات لانستطيع البرهنة عليها فففيها تسليم بالعجز، من هنا يعتبربلانشى ان انسب مبدا للمادة الرياضيات هومبدا المصادرات اي المسلمات او الفرض رائعيات.
* من هنا فأن هندسة اوقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق، ولا تمثل اليقين الفكري الذي لايمكن نقضه، لقد اصبحت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها.
* من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشرافكارا رياضية هندسية جديدة تختلف عن مادة الرياضيات اوقليدس وسميت بنظرية النسق الاكسيوماتيكي أوبالهندسات اللاأوقليدية، وتجلى ذلك بوضوح من خلال اعمال العالمين الرياضيين لوباتشيفسكي الروسي وريمان الالماني.
في سنة أولى830م شكك العالم الرياضى الروسى لوباتشيفسكىlobatchevsky(1793-1857م) فى مصادرات اقليدس السابق ذكرها وتمكن من الاهتداء الى الاساس الذى بنيت عليه، وهو المكان الحسى المستوى، وهكذا تصور مكانا اخر يختلف عنه وهو المكان المقعراى الكرة من الداخل، وفى هذه الحالة تمكن من الحصول على هندسة تختلف عن هندسة اقليدس، أى من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكى انه بامكاننا ان نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم، والمثلث تصير مجموع زواياه اقل من 180 درجة.
وفي سنة أولى854م شكك الالمانى ريمان 1826-1866م riemane هو الاخر فى مصادرات اقليدس وتمكن من نقضها على اساس اخر، فتصور المكان محدودبا أى الكرة من الخارج واستنتج بناءا على ذلك هندسة جديدة ترى انه لايمكن رسم أى مواز من نقطة خارج مستقيم، وكل مستقيم منتهى لانه دائرى وجميع المستقيمات تتقاطع فى نقطتين فقط والمثلث مجموع زواياه اكثر من 180درجة.
مناقشة (نقد الاطروحة)
اذا كانت المادة الرياضيات المعاصرة قد اسقطت فكرة البداهة والوضوح والكمال واليقين والمطلقية في المادة الرياضيات الكلاسيكية، واذا كان الرياضي المعاصر حر في اختيار مقدمات برهانه فهذا لا يعني ان يتعسف في اختياره ووضعها بل يجب ان يخضع في وضعها الى شروط منطقية صارمة تنسجم فيها هذه المقدمات مع نتائجها انسجاما منطقيا ضروريا.
التركيب بين الاطروحتين
من خلال ما سبق عرضه نلاحظ ان تعدد الانساق الرياضية لا يقضي على يقين كل واحد منها، فكل هندسة صادقة صدقا نسقيا اذا اخذت داخل النسق الذي تنتمي اليه لاخارجه وفي هذا المعنى يقول الفرنسي روبير بلانشي (( أما بالنسبة للانساق في حد ذاتها فلم يعد الامر يتعلق بصحتها او بفسادها اللهم الا بالمعنى المنطقي للانسجام او التناقض الداخلي، والمباديء التي تحكمها ليست سوى فرض رائعيات بالمعنى الرياضي لهذا المصطلح.))
الخاتمة (حل المشكلة)
من خلال ما سبق نستنتج ما يلي:
* ان المادة الرياضيات الاقليدية لم تعد توصف بالكمال والمطلقية، ولم تعد تمثل اليقين الرياضي الوحيد الذي لا يمكن نقضه، بل غدت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها. ولذلك فأن تعدد الانساق الرياضية هو دليل على خصوبة الفكر في المجال الرياضي وليس التعدد عيبا ينقص من قيمتها او يقينها.
* كما ان المعرفة الرياضية لا تكتسي الصفة اليقينية المطلقة الا في سياق منطلقاتها ونتائجها، وهذه الصفة تجعل من حقائقها الرياضية حقائق نسقية.
* كما ان البرهنة في المادة الرياضيات انطلقت من منطق استنتاجي يعتقد في صدق مبادئه ومقدماته الى منطق فرض رائعي يفترض صدق مبادئه ومقدماته.
تطور موضوع المادة الرياضيات من "الكائنات" الى البنيات...اي من نسقها الاقليدي الكلاسيكي الى نسقها الاكسيومي
لا يتعلق الامر هنا بالمادة التاريخ للمادة الرياضيات ككشوف وانجازات ، ان ما يهمنا هو تتبع مسار التفكير الرياضى ذاته : كيف يفكر الرياضيون ، وفيم يفكرون؟ وبما ان المادة الرياضيات ظلت على الدوام – وما زالت- النموزج الاعلى للمعقولية ، فان الامر يتعلق بكيفية عامة بتتبع تطور التفكير العقلانى من افلاطون وارسطو الى العصر الحاضر وذلك من خلال تطور الفكر الرياضى موضوعا ومنهاجا، عبر عملية تطورية متسلسلة ، عامة ومتواصلة.
يقال عادة : يتميز علم من العلوم ، عن بقية العلوم ، بموضوعه ومنهاجه ، وان طبيعة الموضوع تحدد طبيعة المنهاج . وهذا صحيح بكيفية عامة ، ولكنه غير صحيح صحة مطلقة . واذا شئنا النظر الى تطور المادة الرياضيات من هذه الزاوية امكننا القول : كانت المادة الرياضيات الكلاسيكية تتميز (بالتمييز) بين الموضوع والمنهاج ، وان المادة الرياضيات الحديثة تتميز عن المادة الرياضيات الكلاسيكية ، وعن بقية العلوم بدمج الموضوع فى المنهاج، والمنهاج فى الموضوع .
موضوع المادة الرياضيات فى الفكر الرياضى الكلاسيكى هو "المقادير القابلة للقياس" اى المقادير الكمية التى تصنف الى صنفين: كم منفصل (الحساب) وكم متصل (الهندسة) . وكلاهما – فى التصور الفلسفى الكلاسيكى – يرجع الى معطيات اولية اى الى افكار فطرية تشكل المحتوى الخاص بالعقل.
والمنهاج الرياضى – فى الفكر الرياضى الكلاسيكى دوما- كان يقوم ، نظرا لطبيعة الموضوع ، على الحدث والاستنتاج : حدث "الحقائق البديهية " و"الافكار الفطرية" واستنتاج حقائق جديدة من تلك . الحدث يمد المادة الرياضيات بعنصر الخصوبة والاستنتاج يمنحها التماسك المنطقى.
ظلت المادة الرياضيات على هذا الشكل – ومعها التفكير الفلسفى العقلانى كله - الى ان ادى نموها الداخلى العقلانى الى قيام ازمة عرفت ب"ازمة الاسس" وهى فى الحقيقة والواقع ازمة نمو، ازمة تحقيق الوحدة العضوية للمادة الرياضيات : وحدة الموضوع ووحدة المنهاج : رد الكم المتصل الى الكم المنفصل والاستغناء بالاستنتاج عن الحدس.
لكن هذا النزوع نحو الوحدة سرعان ما اصطدم بعقبات خطيرة :
* فمن جهة ادى التطور بالمادة الرياضيات الى تجاوز مايقبل القياس الى ما لا يقبله واصبحت تدرس الكم والكيف معا ، فتعددت بذلك فروع المادة الرياضيات ، واصبح التعدد يهدد الوحدة ، والانفكاك يطغى على التماسك . فتعددت انواع "الكائنات" الرياضية ، منها ما يمكن ان يوجد له مقابل فى الواقع ومنها ما هو من نسج الخيال المحض.
* ومن جهة اخرى ساد الجبر على الهندسة وطغى المنطق على الجبر ، واصبحت المادة الرياضيات مهددة بالعقم . ان المنطق الذى شيده ارسطو يقوم على القياس . والقياس الارسطى كما لاحظ الفلاسفة ،منذ قرون ، قياس او استدلال غير منتج : لان النتيجة متضمنة فى المقدمات فهل ستقبل المادة الرياضيات التى امتازت دوما بالخصوبة ، بهذا المصير الذى يجعل منها مجرد عبارات تكرارية او "تحصيل حاصل"؟.
كانت ازمة النمو فى بدايتها مع بداية هذا القرن . وتلك فى الحقيقة البداية المكتملة للمادة الرياضيات الحديثة التى بلغت الان مرحلة النضج ... مرحلة تحققت فيها الوحدة العضوية بين الموضوع والمنهاج ، بين الاصول والفروع .. ومع قيام المادة الرياضيات الحديثة بدأت ارهاصات لعقلانية جديدة تختلف عن العقلانية الكلاسيكية اختلاف المادة الرياضيات المعاصرة عن المادة الرياضيات القديمة.
لم تعد المادة الرياضيات تدرس ما يسمى ب"الكائنات" الرياضية . لقد اتضح للرياضيين ان "الكائن " الرياضى "شئ " لا وجود له .
* لم يعد موضوع المادة الرياضيات هو تلك الحقائق البديهية التى جعلت منها العقلانية الكلاسيكية عملتها الصعبة ان م وضوع المادة الرياضيات هو العلاقات وبكلمة ادق "البنيات.. وبالتحول من الكائنات الى البنيات صار واضحا ان فروع المادة الرياضيات ليست فروعا مستقلة ، وانما هى اشكال من البنيات تجمعها خصائص جوهرية مشتركة.
* ولم يعد المنهاج الرياضى حدسيا او استنتاجيا بالمعنى القديم لكلمة استنتاج بل اصبح عبارة عن جملة من الاجراءات والتحويلات التى تجرى على تلك البنيات ... لم يعد الستنتاج عبارة عن الكشف عما هو متضمن فى المقدمات... بل هو " جملة اجراءات تجرى على معطى ما لاستخلاص الجديد منه . فليست المسألة مسألة تحصيل حاصل .. او مجرد تكرار ... بل هى تحصيل حاصل جديد من حاصل قديم اذا صح هذا التعبير.
نعم بقيت العلاقة بين المنطق والمادة الرياضيات وطيدة جدا ... ولكن لا بالمعنى الذى فهمت به هذه العلاقة فى اوائل هذا القرن . لم تعد المادة الرياضيات ترتد الى المنطق ، وانما "اصبح المنطق مجرد لغة يستخدمها الرياضيون، تماما مثلما يستعمل الناس لغة من اللغات قبل ان تصاغ قواعدها النحوية" وبذلك حلت مشكلة الصراع بين المادة الرياضيات والمنطق، لقد امتصت المادة الرياضيات المنطق ، منطق الفلاسفة ، واصبح المنطق ، ان لم يكن كله فجله، " نظرية فى البنيات المنطقية ، اى نظرية فى بعض البنيات الجبرية".
وهكذا ، فبواسطة البنيات الاولية حققت المادة الرياضيات وحدتها : وحدة الموضوع ووحدة المنهاج، ووحدة الموضوع والمنهاج معا . لقد تمكنت اخيرا من تحقيق وحدة الفكر وصياغة لغة مشتركة لمختلف البنيات، انه مظهر من مظاهر التقدم الرائع الذى حققه الفكر البشرى فى هذا القرن.
ومع التحول من "الكائنات" الى البنيات ، وامتصاص المادة الرياضيات للمنطق ، اصبحت الفلسفة الرياضية من اختصاص الرياضيين انفسهم . انه تحول سد النوافذ فى وجه الفيلسوف ... واصبح صعبا عليه الاطلالة على ما يجرى فى المحراب الرياضى الى اذا دخل البيوت من ابوابها ... الى اذا تحول هو نفسه الى عالم رياضى.
ومع ذلك ، بل بسبب من ذلك، اخذ الفكر الفلسفى يتلمس الحل لكثير من مشاكله القديمة بفضل منجزات الفكر العلمى ... واصبح امام نظرية فى المعرفة جديدة وعلمية تحققت فيها – او تكاد – وحدة الرؤيا . فالتقت نتائج التقدم الرياضى مع نتائج التقدم فى ميادين اخرى ، كالمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية وعلم النفس وعلم الاجتماع ... واصبح التأويل الذى يعطيه الرياضى لمشكل المعرفة قريبا جدا من ذلك الذى يقدمه العالم الفيزيائى والعالم السيكولوجى... وبذلك اخذت تتحقق بشكل اعمق واشمل وحدة الفكر البشرى المبدع الخلاق.
تواريخ مهمة في المادة الرياضيات
3000 ق.م استخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأ راضي.
370 ق.م عرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد، التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.م أنشأ إقليدس نظامًا هندسيًا مستخدمًا الاستنتاج المنطقي.
787م ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830م أطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835م استخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة للعدد الذي لا جذر له.
888م وضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912م استعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا لأول مرة.
1029م استغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في المادة التاريخ.
1142مترجم أديلارد ـ من باث ـ من مادة اللغة العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب كامل العناصر لأقليدس، ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيدًا في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي. أُدْخِلَ نظام الأعداد الهندية ـ مادة اللغة العربية إلى أوروبا نتيجةً لترجمة كتاب كامل الخوارزمي في الحساب.
1252م لفت نصير الدين الطوسي الانتباه ـ لأول مرة ـ لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397م اخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465م وضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزًا لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514م استخدم عالم المادة الرياضيات الهولندي فاندر هوكِي اشارتي الجمع (+) والطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533م أسس عالم المادة الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس، حساب المثلثات كفرع مستقل عن الفلك.
1542م ألف جيرولامو كاردانو أول كتاب كامل في المادة الرياضيات الحديثة.
1557م أدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في المادة الرياضيات معتقدًا أنه لا يوجد شيء يمكن أن يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614م نشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات، التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637م نشر رِينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية، مقررًا أن المادة الرياضيات هي النموذج مقترح الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشرالميلادي. نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاضل والتكامل.
1717م قام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742م وضع كريستين جولدباخ ما عُرف بحدسية جولدباخ: وهو أنّ كلّ عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء المادة الرياضيات لإثبات صحّتها أو خطئها.
1763م أدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795م يعمل في الاستخبارات العسكرية المادة الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي. عمل علماء المادة الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولْياي، نقولا لوباشيفسكي، وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر. بدأ تشَارْلْز بَبَاج في تطوير الآلات الحاسبة.
1822م أدخل جين بابتست فورييهٌْ تحليل فورييه.
1829م أدخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854م نشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881م أدخل جوشياه وِيلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي. طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908م طور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدمًا عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910-1913م نشر أَلفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسِل كتاب كاملهما مبادئ المادة الرياضيات وجادلا فيه أنّ كل الفرض رائعيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912م بدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في المادة الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسيًا.
1921م نشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي. أثبت كورت جودل أن أي نظام من المسلمات يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937م قدم أَلانْ تُورنْج وصفًا لــ " آلة تَورنج " وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960م دَخَلت المادة الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974م طور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرين ظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية، واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980م بحث عدد من علماء المادة الرياضيات المنحنيات الفراكتلية، وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.
أهمية المادة الرياضيات
يمكن تقسيم المادة الرياضيات إلى مادة الرياضيات بحتة ومادة الرياضيات تطبيقية.
وتهتم المادة الرياضيات البحتة بتطوير المعرفة الرياضية لذاتها دون اعتبار لتطبيق حالي عاجل، فمثلاً، قد يبتدع أحد علماء المادة الرياضيات عالمًا خياليًا لكل شيء فيه أبعاد أخرى غير الطول والعرض والارتفاع. وتهتم المادة الرياضيات التطبيقية بتطوير أساليب رياضية لتستخدم في العلوم والمجالات الأخرى.
والحدود بين المادة الرياضيات البحتة والتطبيقية ليست دائمًا واضحة. فغالبًا ما تجد تطبيقات عملية لأفكار طورت في المادة الرياضيات البحتة، وكثيرًا ما تقود أفكار في المادة الرياضيات التطبيقية إلى أبحاث في المادة الرياضيات البحتة.
ويتأثر كل جزء من حياتنا تقريبًا بالمادة الرياضيات. ولعبت المادة الرياضيات دورًا أساسيًا في تطور التقنية الحديثة ـ كالأدوات، والتقنيات، والمواد، ومصادر الطاقة التي جعلت حياتنا وعملنا أكثر يسرًا.
في الحياة اليومية. تتدخل المادة الرياضيات في تفاصيل حياتنا اليومية البسيطة منها والمعقدة. ففي الأمور البسيطة نتعرف على الوقت، وباقي نقودنا بعد شراء شيء ما، وفي الأمور المعقدة كتنظيم ميزانية البيت أو تسوية دفتر الشيكات.وتستخدم الحسابات الرياضية في الطبخ جزائري والقيادة والبستنة، والخياطة، ونشاطات عامة عديدة أخرى. وتؤدي المادة الرياضيات كذلك دورًا في العديد من الهوايات والألعاب الرياضية.
في العلوم. للمادة الرياضيات دور هام في جميع الدراسات العلمية تقريبًا إذ تساعد العلماء على تصميم تجاربهم وتحليل بياناتهم. ويستخدم العلماء الصيغ الرياضية لتوضيح ابتكاراتهم بدقة، ووضع التنبؤات المستندة إلى ابتكاراتهم.
وتعتمد العلوم الفيزيائية، كغيرها من العلوم مثل الفلك، والكيمياء إلى حد كبير على المادة الرياضيات. كما تعتمد العلوم الإنسانية كالاقتصاد، وعلم النّفس، وعلم الاجتماع بقدر كبير على الإحصاء وأنواع أخرى في المادة الرياضيات. فمثلاً، يستخدم الاقتصادي الحاسوب لتصميم رياضي للأنظمة الاقتصادية . وتستخدم نماذج الحاسوب هذه مجموعة من الصيغ لمعرفة مدى التأثير الذي قد يحدثه تغير في جزء من الاقتصاد على الأجزاء الأخرى.
في الصناعة. تساعد المادة الرياضيات الصناعة في التصميم، والتطوير، واختبار رائع جودة الإنتاج والعمليات التصنيعية. فالمادة الرياضيات ضرورية لتصميم الجسور، والمباني،والسدود والطرق السريعة، والأنفاق، والعديد من المشاريع المعمارية والهندسية الأخرى
في التجارة. تُسْتَخْدَم المادة الرياضيات في المعاملات المتعلقة بالبيع والشراء. وتكمن حاجة الأعمال التجارية الى المادة الرياضيات في حفظ سجلات المعاملات كمستويات الأسهم، وساعات عمل الموظفين ورواتبهم. ويستخدم المتعاملون مع البنوك المادة الرياضيات لمعالجة واستثمار سيولتهم النقدية. وتساعد المادة الرياضيات كذلك شركات التأمين في حساب نسبة المخاطرة وحساب الرسوم اللازمة لتغطية التأمين.
قارن بين المادة الرياضيات و المنطق؟
الطريقة مقارنة.
1/المقدمة:أـ تمهيد:إشارة إلى العلوم المختلفة التي أبدعها الإنسان و التي من بينها العلوم العقلية كالمنطق والمادة الرياضيات.
ب ـ طرح الاشكال: إذا كان المنطق و المادة الرياضيات من العلوم العقلية فهل هما متفقان أم وراء هذا الاتفاق الظاهري اختلاف جوهري؟
2/ التوسيع:من تعريفها:
1ـ أوجه الاتفاق:هما إنتاج عقلي
ـ يهتمان بدراسة المواضيع مقترحة و رسمية المجردة (الفكر و الكم)
ـ يتفقان في المنهج(استنتاجيان)
2 ـ أوجه الاختلاف: ـالمادة الرياضيات:
1ـ التعاريف والبديهيات في المادة الرياضيات أكثر.
2ـ الرياضي حر كأن يمدد الخطوط ينصف الزوايا...
3ـ المادة الرياضيات يمكن أن تكون استقرائية ايضا
4ـ المادة الرياضيات منتحية و الخصبة ( بونكاري، غوبلو، )
5ـ نتائج المادة الرياضيات صحيحة دائما لأنّها تعتمد على قضايا سبق التسليم بها و تدرس قضايا مجردة لا علاقة لها بالواقع.
6ـ مادة التاريخيا المادة الرياضيات ظهرت في القرن ال6 ق م هذا عند اليونان فقط.( على طاليس )
7 ـ العلاقة في المادة الرياضيات هي علاقة مساواة أو عدم مساواة.
8 ـ المادة الرياضيات تستعمل الرموز.
9 ـ موضوعها الكم المجرد بنوعيه المتصل و المنفصل
أمّا المنطق:
ـ التعاريف قليلة و البد يهيات 3 فقط (ما يصدق على الكل يصدق على الجزء، المساويان لثالث متساويان، مبدأ الهوية.)
ـ المنطقي مقيد بمقدمتين و بشروط.....
المنطق استنتاجي دوما.
ـ المنطق عقيم و مصادرة على المطلوب (ابن تيمية،القول ، ج س مل).
ـ المنطق لا يكون صحيحا إلا وفق الشروط أو القواعد العامة والخاصة كما يرى أرسطو.
ـ المنطق ظهر في القرن ال3 ق م على يد أرسطو.
ـ العلاقة في المنطق هي علاقة استغراق أو عدم استغراق.
ـ المنطق يستعمل الألفاظ.
ـ موضوع المنطق الفكر السليم.
3/ مواطن التداخل: إن كل من المنطقي و الرياضي لا يفعل أي شيء إذا لم يعتمد على مبادئ العقل، و يمكن أن يعتمد المنطق على المادة الرياضيات باستعارته لرموزها ( المنطق الرياضي ) و المادة الرياضيات المعاصرة استعملت المنطق أساسا لها و هذا ما سمح بظهور النسق الأكسيومي. إذن فالعلاقة هي علاقة تكامل.
الخاتمة: نسبة الترابط:
إن الراضيات رغم من طابعها التجريدي فإنها تدرس الكون و تـقيسه قياسا كميا و بذلك ساعدت على تطور المعرفة العلمية التي تتصف بالكمية. و المنطق يهتم بالفكر و يصونه من الوقوع في التناقض، فبواسطة المنطق يكون فكرنا سليم، و يكون أداة لا قناع الآخرين و إيضاح للمعارف... و عليه كلا العلمين أداة في تطوير معارف الإنسان و خدمته.
ما علاقة المادة الرياضيات بالعلوم التجريبية ؟
الطريقة مقارنة :
المقدمة :
أ\ تمهيد : يبدو من الوهلة الاولى أن المادة الرياضيات ذات الطابع العقلي تختلف عن العلوم الطبيعية التجريبية ...
ب / طرح الاشكال : فهل هناك علاقة بينهما رغم هذا الاختلاف ؟
التحليل :
أ ـ اوجه الاتفاق :1 ـ نشات المادة الرياضيات نشاة حسية الهندسة عند الفراعنة و الطفل و البدائي، مثلها مثل العلوم الطبيعية
2 كل منهما نتاج تفكير،ـ يصلان الى نتائج،ـ يكونان مفاهيم، ـ يكتشفان قوانين
3 قوانين العلوم و قواعد المادة الرياضيات تتسم كلها بالتعميم ، ولا تقف عند الجزئية الواحدة .أرسطو :"لا علم الاّ بالكليات".4 لغتهما معا رموز.
ب ـ اوجه الاختلاف : المادة الرياضيات ـ موضوعها مجرد ، ـ منهجها استنتاجي و قدج يكون استقرائي ، ـ طابعها تجريدي ، ـ قضاياها تحليلية و في نفس الوقت تركيبية، ـ الصدق فيها صوري ، ـ تتصف بالدقة و اليقين اكثر .
أما العلوم الطبيعية : ـ موضوعها مادي ، ـ منهجها استقرائي دوما، ـ طابعها تجريبي ، ـ قضاياها تركيبية ، ـ الصدق فيها واقعي تجريبي ، ـ تتصف بدقة و يقين أقل .
ج ـ مواطن التداخل : ان العالم الطبيعي يتاثر بالرياضي حينما يصوغ قوانينه بشكل رياضي و الرياضي يزداد يقينا حينما تثبت التجربة صحة استدلاله < عد الى تاثير المادة الرياضيات في العلوم > كما أن المفاهيم الرياضية تصورات خاوية ما لم تجسد في العلوم .
خاتمة : ان العلم في تطور نحو الدقة و الضبط و مرد ذلك الى الاستعانة بالمادة الرياضيات ، و المادة الرياضيات كانت لها قيمة لحاجة العلوم اليها و عليه فهما متكاملان .
فروع المادة الرياضيات
للمادة الرياضيات فروع عديدة. وقد تختلف هذه الفروع في نوعية مسائلها والتطبيقات العملية لنتائجها. وعلى أية حال، فغالبًا مايشترك علماء المادة الرياضيات العاملون في شتى الفروع في استخدام نفس المفاهيم والعمليات الأساسية. ويناقش هذا البند بعض الأنواع الأساسية في المادة الرياضيات.
الحساب. يشمل دراسة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. وهو بمثابة الأساس لأنواع المادة الرياضيات الأخرى حيث يقدم المهارات الأساسية مثل العد وتجميع الأشياء والقياس ومقارنة الكميات
الجبر. خلافًا للحساب، فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة، إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفًا مثل س وص، تمثل كميات مجهولة. كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالية (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).
الهندسة. تدرس الهندسة خواص وعلاقات الأشكال في الفضاء. وتدرس الهندسة المستوية المربعات والدوائر والأشكال الأخرى في المستوى، وتُعنى الهندسة الفراغية بدراسة الأشكال ذات الأبعاد الثلاثة مثل المكعب والكرة.
وفي حوالي 300 ق.م، وضع عالم المادة الرياضيات الإغريقي إقليدس، تعاريف وفرض رائعيات نظام للهندسة يصف العالم كما نعيشه. وفيما بعد طوّر علماء المادة الرياضيات نظمًا بديلة للهندسة رفضت فرض رائعية إقليدس المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. وقد أثبتت هذه الهندسات المخالفة لفرض رائعية إقليدس (الهندسة اللاإقليدية) فائدتها ـ على سبيل المثال ـ في النظرية النسبية التي تُعَدُّ واحدة من الإنجازات القيّمة للتفكير العلمي
الهندسة التحليلية وحساب المثلثات. تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة، فهي تعطي تمثيلاً لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحنٍ. وتجعل من الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية، ومثال على ذلك: فإن المعادلة س= ص² تصف منحنى يُسمى القطع المكافئ.
ويستخدم الفلكيون والبحارة والمساحون حساب المثلثات بشكل كبير لحساب الزوايا والمسافات في حالة تعذر القياس بطريقة مباشرة. ويبحث حساب المثلثات في العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث، وعلى الأخص المثلث قائم الزاوية (مثلث إحدى زواياه 90°). وتسمى العلاقات بين أطوال ضلعين في مثلث قائم الزاوية بالنسب المثلثية. وباستخدام هذه النسب يمكن حساب الزوايا وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة من الزوايا والأطوال الأخرى المعلومة. وتصف المعادلات المتضمنة لنسب مثلثية المنحنيات التي يستخدمها الفيزيائيون والمهندسون لتحليل خواص الحرارة والضوء والصوت والظواهر الطبيعية الأخرى
حساب التفاضل والتكامل والتحليل. له تطبيقات عدة في الهندسة والمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية والعلوم الأخرى. ويمدنا حساب التفاضل والتكامل بطرائق لحل عديد من المسائل المتعلقة بالحركة أو الكميات المتغيرة. ويبحث حساب التفاضل في تحديد معدل تغير الكمية. ويستخدم لحساب ميل المنحنى والتغير في سرعة الطلقة. أما حساب التكامل فهو محاولة إيجاد الكمية بمعلومية معدل تغيرها، ويستخدم لحساب المساحة تحت منحنى ومقدار الشغل الناتج عن تأثير قوة متغيرة. وخلافًا للجبر، فإن حساب التفاضل والتكامل يتضمن عمليات مع كميات متناهية الصغر (كميات صغيرة ليست صفرًا ولكنها أصغر من أي كمية معطاة).
ويتضمن التحليل عمليات رياضية متعددة تشمل اللانهاية والكميات المتناهية الصغر. ويدرس التحليل المتسلسلات اللانهائية وهي مجاميع غير منتهية لمتتابعات عددية أو صيغ جبرية. ولمفهوم المتسلسلات اللانهائية تطبيقات مهمة في مجالات عدة مثل دراسة الحرارة واهتزازات الأوتار
الاحتمالات والإحصاء. الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما. ويُسْتَخْدَم لتحديد فرص إمكانية وقوع حادث غير مؤكد الحدوث. فمثلاً، باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميات لقطع نقدية
أما الإحصاء فهو ذلك الفرع من المادة الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة. ويعتمد الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات. وتزود الطرق الإحصائية الحكومات، والتجارة، والعلوم بالمعلومات. فمثلاً، يَسْتَخْدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز
نظرية المجموعات والمنطق. تبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات. والمجموعة هي تجمع من الأشياء، قد تكون أعدادًا، أو أفكارًا أو أشياء أخرى. وتكمن أهمية دراسة المجموعات في التحقق من المفاهيم الرياضية الأساسية
أما في مجال المنطق ـ وهو ذلك الفرع من الفلسفة التي تتعامل مع قواعد التعليل الصحيح. فقد طور علماء المادة الرياضيات المنطق الرمزي. وهو نظام اصطلاحي للتعليل يستخدم الرموز والطرق الرياضية. وقد استنبط علماء المادة الرياضيات نظمًا عديدة للمنطق الرمزي، كانت لها أهميتها في تطوّْر الحاسوب.
يقال: المادة الرياضيات هي اللغة التي يجب أن تتكلم بها مختلف العلوم، ما رأيك!!.
مقدمة: تنقسم العلوم إلى شعبتين أساسيتين هما: علوم تجريبية تعتمد على الاستقراء كمنهج و على إجراء التجارب كوسيلة و هي تدرس الواقع الحسي، و علوم نظرية تعتمد على دراسة المعقولات و تتخذ الاستنتاج كمنهج كما هو حال المنطق و المادة الرياضيات فإذا علمنا أن العلوم المختلفة تعبر عن أفكارها بلغة المادة الرياضيات فالمشكلة المطروحة : * كيف نفسر ذلك و بتعبير أوضح؟ كيف نفسر خصوبة المادة الرياضيات و تأثيرها في العلوم المختلفة؟
المادة الرياضيات تفكير عقلي مجرد موضوعها دراسة الكم قال عنها ديكارت هي علم القياس موضوعها الكميات الموجودة و تعرف المادة الرياضيات على أنها هي علم المقدار أو الكم القابل للقياس المتصل و المنفصل و الكم المتصل يتمثل في المكان أو الامتدادات الهندسية و الكم المنفصل يتمثل في الأعداد ـ الحساب- و منها ما هو متغير القيمة و يسمى علم الحساب و منها ما هو متغير القيمة مثل استخدام الحروف بدل الأعداد و هذا هو علم الجبر و المقصود بالكم القابل للقياس أن هناك بعض الكميات لا تقاس مثل الانفعالات التي لا تقبل عمليات القياس . و رأت جماعة من الرياضيين الفرنسيين المعاصرين تعرف بجماعة نيوكولابروباكي أنه هناك اتفاق ساد إلى غاية القرن 19 على أن موضوع المادة الرياضيات هو ما قاله أفلاطون قديما هو الأعداد و المقادير والأشكال و كان قديما ما يضاف إلى المادة الرياضيات الميكانيك و الفلك و البصريات و الموسيقى لكن الإغريق فصلوها عن المادة الرياضيات و ميزوها عن الحساب و الهندسة حتى جاء عصر النهضة فدخلت هذه العلوم سريعا في عداد العلوم المستقلة و للمادة الرياضيات مبادئ هي مجموعة من القضايا العامة و الأولية التي يقبلها الرياضي دون برهان عليها قال عنها أرسطو : هي ما يجب أن يتعلمه الطالب قبل تعلم العلم نفسه . و هي على ثلاثة أنواع مسلمات، تعريفات ، بديهيات .
من الناحية المادة التاريخية يعتبر فيثاغورس أبرز من تحدث عن أهمية المادة الرياضيات حيث قال في عبارة مجازية ( الأعداد تحكم العالم) و معنى ذلك أن الكون قد صنع وفق حسابات رياضية و جاء من بعده أفلاطون و كتب على باب الأكاديمية (لا يدخلها إلا من أتقن المادة الرياضيات ) و الهدف واضح من ذلك و هو غرس الأسلوب العلمي بين التفكير و مطالع العصر الحديث تجسد الاهتمام أكبر بالمادة الرياضيات حيث استعارت العلوم المختلفة اللغة الرياضية فأصبحت المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية تستعمل الأرقام أو الحروف و هنا تسارع التطور داخل هذا العلم بل و باقي العلوم الأخرى و من هذا قال الفرنسي برغستون(العلم الحديث ابن المادة الرياضيات لم يتولد إلا بعدما صار الجبر مرنا قادرا على شبك الحقائق و الإيقاع بها في شباكه) و أكثر من ذلك أصبحت المادة الرياضيات هي المرجعية التي نعود إليها عندما نريد التأكد من صحة أي علم و هذا ما نلاحظه في العلوم ط و المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية حيث يتم استعمال المعدلات المادة الرياضيات و المنحنيات البيانية بل و حتى الرسومات لتوضيح الأفكار العلمية و من ثم البرهنة عليها قال أوجستت كونت ( المادة الرياضيات هي الأدلة الضرورية لكل العلوم ) و نستطيع أن نلخص مدى اهتمام العلوم المختلفة بالمادة الرياضيات فهي عبارة تؤكد ذلك حيث قال أوجست كونت ( المادة الرياضيات أكثر من علم إنها النظام العام للفكر و الأشياء).
تتجلى قيمة المادة الرياضيات في نقاط كثيرة و أول هذه العناصر لغة المادة الرياضيات إنها لغة كمية تعتمد على الأرقام و الحروف و الثوابت والمتغيرات مما يجعلها لغة دقيقة نتيجة الإنفاق حول معاني الرموز و موضوعية لأن لا مجال فيها للعواطف و الأهوال و سريعة ومختصرة للوقت و الجهد قال عنها برغستون (المادة الرياضيات هي اللغة الوحيدة التي يجب أن يتكلم بها كل علم ) و من مزايا المادة الرياضيات أنها تتغير بمنهج منظم هو المنهج الاستدلالي مما يسهل اكتشاف الأخطاء و تصحيح نمذجي مفصلها بل أن المادة الرياضيات عبارة عن نسق يقبل التعديل و التفسير و نتائج المادة الرياضيات أكثر مصداقية و لهذا قيل إن العلوم المختلفة لا تطبق المادة الرياضيات بل تتضمنها .
هل يمكن إرجاع المادة الرياضيات إلى أصول منطقية ؟
مقدمة : تعتبر المادة الرياضيات علم الكم المجرد سواء كان هذا الكم منفصلا أو متصلا ، ونقصد بالأول العداد والتي هي موضوع الجبر والحساب ونقصد بالثاني الخطوط والأشكال والتي هي موضوع الهندسة ، وتعتمد المادة الرياضيات في دراستها علم المنهج الاستدلالي بالطريقة الأستنتاجية التي يعتمد عليها القياس المنطقي ، فهل يعني هذا أن الاستدلال الرياضي هو مجرد صورة للاستدلال المنطقي ؟
التوسيع :
1 القضية : يرى المنطقيون أن الاستدلال الرياضي يعتمد على الاستدلال المنطقي وذلك من حيث الصورة البنائية ذلك أن الاستدلال الرياضي ينطلق من عملياته البرهانية من المبادئ إلى نتائج ، وهي نفس الصورة البنائية التي يعتمد عليها القياس المنطقي وإذا كنا في القياس المنطقي ننطلق من مقدمتين كبرى وصغرى للوصول إلى نتيجة فإننا في الاستدلال الرياضي ننطلق من مبادئ المادة الرياضيات المتمثلة في ـ التعريفات ـ البد يهيات ـ المسلمات لنصل من خلالها إلى حل المسائل الرياضية أو المعادلات ، إذا لم تكن س هي نفسها س في جميع مراحل البرهنة وفقا لمبدأ الهوية ، كما أن التفكير الرياضي لا يقبل التناقض اعتمادا على مبدأ عدم التناقض وهو يظهر جليا باعتماد المادة الرياضيات على المنطق وهو ما جعل راسل يقول : ( المنطق هو شباب المادة الرياضيات ) ** مناقشة : إن هذه المقاربات لا تعني بالضرورة اعتماد المادة الرياضيات على المنطق لا من حيث السيق المادة التاريخي ولا من حيث الطبيعة الإنتاجية للاستدلال الرياضي واعتماده على اللغة الرمزية بالإضافة إلى الاستعمالات المتعددة في حين أن استعمال المنطق يبقى محصورا في مجالات محددة
. نقيض القضية : تظهر استقلالية الاستدلال الرياضي على القياس المنطقي من خلال الخصوبة التي تتمتع بها المادة الرياضيات من حيث تعدد المبادئ وتطورها وعمق العمليات البرهانية وتعدد نتائجها مقابل العقم الموجود في المنطق بحيث أن نتائجه لا تأتي بجديد ، بل هي مجرد تحصيل لما هو حاصل كما أن المادة الرياضيات تعتمد على لغة رمزية و هي أساس الدقة التي يمنع بها التفكير الرياضي في حين يعتمد المنطق على اللغة الطبيعية والتي تحدث باسمها المغالطات ، بالإضافة إلى مجالات الاستعمال بحيث يقتصر استعمال المنطق في المجالات الكلامية والأفكار المجردة والأقيسة الفكرية والعقائدية بينما تستعمل الرياضي في مجالات واسعة تكون من خلالها المفاتيح التي تعتمد عليها جميع العلوم الطبيعية والرياضية . منا قشة: إن هذا التمايز بين المادة الرياضيات والمنطق لا ينبغي على المادة الرياضيات اعتمادها على المنطق في جميع عملياتها البرهانية . التركيب : إن ظهور المنطق الرياضي الذي يعتمد على لغة رياضية رمزية يبين لنا مدى التكامل بين التفكير الرياضي والتفكير المنطقي خاصة وأنهما يشتركان في الطبيعة التجريدية
خاتمة : ومن هذا تستنتج أن الأصل المنطقي للاستدلال الرياضي يتمثل خاصة في الصورة الأستنتاجية التي يعتمد عليها البرهان الرياضي وهو صورة منطقية فلا يمكن أن نقيم البرهان الرياضي بدون احترام قواعد المنطق ، ولكن لا يعني هذا أن نحصر المادة الرياضيات في حدود وضيفة المنطق .
ما الذي يميز الحقيقة الرياضية عن الحقيقة التجريبية ؟
المقدمة : إن غاية العلوم المختلفة هي الوصول إلى حقائق، تختلف بإختلاف طبيعة الموضوع فتكون مجردة كما هو الحال في المادة الرياضيات، أو تجريبية كما هو الحال بالنسبة لعلوم المادة . فما الذي يميز المادة الرياضيات عن علوم المادة ؟و ما الفرق بين الحقيقة الرياضية والحقيقة التجريبية ؟
التوسيع :. I – أوجه الاختلاف : تهتم المادة الرياضيات بدراسة المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس أما علوم المادة، فموضوعها الظواهر الطبيعية المختلفة الجامدة منها والحية.
إن اختلاف الموضوع يؤدي إلى اختلاف المنهج بحيث أن منهج المادة الرياضيات منهج عقلي استنتاجي، يقوم على استخراج النتائج من المقدمات اللاّزمة عنها لزومًا ضروريا ومنطقيا.لأن معيار الصدق في المادة الرياضيات هو تطابق الفكر مع ذاته دون مراعاة الواقع.
أما منهج العلوم الطبيعية فهو منهج إستقرائي ينتقل فيه العالم من دراسة العينات إلى إستخلاص القوانين وتعميمها. وهو منهج يعتمد على خطوات أساسية :
من ملاحظة – فرض رائعية – تجربة وقانون. وعليه فإن طريقة الرياضي إستنتاجية ينتقل فيها من العام إلى الخاص، أما طريقة العالم فهي إستقرائية ينتقل فيها من الخاص إلى العام.
إن نتائج المادة الرياضيات يقينية ثابتة لآن موضوعها المفاهيم العقلية المجردة ، التي لا يطرأعليها أي تغيير في حين أن نتائج علوم المادة ، نسبية متغيرة لآن موضوعها هو الواقع النسبي المتغير. وبما أن معيار الصدق فيها تطابق الفكر مع ذاته ومع الواقع كانت نتائجها نسبية متغيرة. لهذا يقول " كلود برنار" : إن مبدأ العالم الرياضي يصير مبدأ مطلقا لآنه لا ينطبق على الواقع الموضوعي كما هو، ولكن على علاقات الأشياء المأخوذة في شروط بسيطة يختارها الرياضي ويخلقها في فكرة بشكل من الأشكال.لكن هذا الإختلاف لا يعني عدم وجود عناصر مشتركة بينهما.
أوجه الشبه : كل من الرياضي وعالم المادة يفترض، ثم يستدل على صحة ما إفترض، وكلاهما ينطلق من فكرة يعرفها العقل.
الخاتمة :
نسبة الترابط : إن المادة الرياضيات تعتبر مثل أعلى لجميع العلوم الواقعية التجريبية . نظرًا لدقتها ويقينها.ولذا تصاغ كل القوانين العلمية في قالب رياضي . وكمي، كما هو الحال بالنسبة للمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية، كصياغة "غاليلي" لقانون سقوط الأجسام في لغة رياضية. وكذلك" مندل "عندما صاغ قوانين الوراثة على شكل نسب مئوية....إلخ. ومنه فإن التعارض بين المادة الرياضيات وعلوم المادة تعارض زائف لهذا رفض" غاستون باشلار" الفصل بينهما.
قراءة ممتعة...http://www.dzbatna.info/vb/images/icons/icon24.gif..ومفيدة
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.n...93518507_n.png
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى©
