Chakira
11-07-2013, بتوقيت غرينيتش 12:00 AM
أ - مقالة المقارنة :
المقالة الأولى : مقالة مقارنةبين المادة الرياضيات الكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة
طرح المشكلة :تعتبر المادة الرياضياتمفاهيم عقلية مجردة بعيدة عن المحسوس مرت بعدة منعرجات أهمها الثورة العلمية علىالمفاهيم الكلاسيكية في القرن 19 الأمر الذي جعل هناك اختلاف بين المادة الرياضياتالكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة وهذا ما يجعلنا نتساءل عن العلاقة بين هما،ماهيالعلاقة بين المادة الرياضيات الكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة؟
محاولة حل المشكلة :
1 ــ أوجه التشابه :
ــ كلاهما يعتمد على مبادئ عقلية بعيدة عنالمحسوس
ــ كل منهما ساهم في تطوير العلم
ــ كل منهما يعتمد علىالبرهنة
2 ــ أوجه الاختلاف :
ــ المادة الرياضيات الكلاسيكية تعتمد على المبادئالثلاث هي البديهيات والمسلمات والتعريفات أما المادة الرياضيات المعاصرة فتعتمد علىلأوليات
ــ موضوع المادة الرياضيات الكلاسيكية هو الحكم المتصل والمنفصل أماالمادة الرياضيات المعاصرة تميزت بظهور هندسات جديدة لاإقليدية (ريمان و لوباتشفسكي)
ــالمفاهيم عند الكلاسيكيين هي مفاهيم فطرية أما المفاهيم الرياضية عند المحدثين فهيتستند إلى فعالية العقل في بناء الموضوعات الرياضية
ــ المنهج في المادة الرياضياتالكلاسيكية قائم على التحليل والتركيب أما المنهج في المادة الرياضيات المعاصرة هو منهجأكسيومي (فرض رائعي استنتاجي)
3 ــ مواطن التداخل :
ــ تعتبر المادة الرياضياتالكلاسيكية أرضية مهدت لوجود المادة الرياضيات المعاصرة بدليل الإرتباط الوثيق بينهماوالعلاقة الموجودة بينهما هي تكامل
خاتمة وحل المشكلة:
المادة الرياضياتالمعاصرة لا تهدم المادة الرياضيات الكلاسيكية بل تختلف عنها من جهة العقلانية التي تستندإليها.
2 هل معيار الحقيقة فيالمادة الرياضيات يكمن في البداهة والوضوح أم في أتساق النتائج مع المقدمات؟
طرحالمشكلة :
توصف المعرفة الرياضية بالصناعة الصحيحة واليقينية في منطلقاتهاونتائجها، لكن التساؤل عن معيار اليقين في المادة الرياضيات كشف انه ليس معيارا واحدا فيالمادة الرياضيات الإقليدية والمادة الرياضيات المعاصرة، ذلك أن المادة الرياضيات الإقليدية تعتقد جازمةببداهة ووضوح مبادئها وترى فيها النموذج مقترح الوحيد في الصدق المطلق، أما الرياضييالمعاصر فلا تهمه المبادئ ذاتها لأنها تشكل مقدمات في النسق الرياضي ، بقدر ما يهمهالنسق الرياضي في مجمله أي أن عدم تناقض المقدمات مع النتائج هو معيار اليقين فيالمادة الرياضيات. وفي ذلك نطرح السؤال التالي:
هل معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل فيبداهة ووضوح مبادئها أم يتمثل في اتساق نتائجها مع مقدماتها؟
محاولة حلالمشكلة :
الأطروحة الاولى : معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوحمبادئها أسست المادة الرياضيات الكلاسيكية مادة التاريخيا قبل عصر النهضة بقرون عديدة قبل الميلادعلى يد فيلسوف ورياضي يوناني مشهور اسمه إقليدس (306ق.م/253ق.م)، إذ سيطرت مادة الرياضياتهالكلاسيكية على العقل البشري إلى غاية القرن التاسع عشر الميلادي، حتى ضن العلماءأنها المادة الرياضيات الوحيدة التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية.
اعتمدت المادة الرياضياتالكلاسيكية على مجموعة من المبادئ أو المنطلقات التي لا يمكن للرياضيي التراجع فيالبرهنة عليها إلى ما لا نهاية، فهي قضايا أولية وبديهية لا يمكن استخلاصها منغيرها،وهي مبادئ لا تحتاج إلى برهان على صحتها لأنها واضحة بذاتها من جهة و لأنهاضرورية لقيام المعرفة الرياضية من جهة أخرى، يستخدمها الرياضي في حل كل قضاياهالرياضية المختلفة، فما هي هذه الميادئ؟
التعريفات الرياضية definitions mathematiquales
هي أولى القضايا التي يلجأ إليها الرياضي من اجل بناء معنىرياضي وإعطائه تمييزا يختلف عن غيره من المعاني الرياضية الأخرى، ومن أهم التعريفاتالإقليدية الرياضية، نجد تعريف المثلث بأنه شكل هندسي له ثلاثة أضلاع متقاطعة مثنىمثنى مجموع زواياه تساوى 180درجة. والنقطة هي شكل هندسي ليس لها أبعاد، أو هي حاصلالتقاء خطين. والخط المستقيم هو امتداد بدون عرض.
البديهيات les axiomes
هيقضايا واضحة بذاتها،صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتاج إلى دليل على صحتها برأيالكلاسيكيين، أي لا يمكن للعقل إثباتها أي تفرض رائع نفسها على العقل بوضوحها لأنهاتستند إلى تماسك مبادئ العقل مع ذاته، فهي قضايا قبلية نشأت في العقل قبل التجربةالحسية، فهي قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان أو استدلال، كما أنها قضاياتحليلية موضوعها لا يضيف علما جديدا إلى محمولها، ومنها بديهيات إقليدس التيتقول:
إن الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل.
الكميتان المساويتان لكميةثالثة متساويتان.
وبين نقطتين لا يمكن رسم إلا مستقيما واحدا.
وإذا أضيفتكميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية.
المصادرات les postulats
تسمى أحيانا بالأوليات وأحيانا بالموضوعات .وأحيانا بالمسلمات لانالرياضي هو الذي يضعها فهي إذن قضايا لا نستطيع البرهنة على صحتها وليست واضحةبذاتها، أي فيها تسليم بالعجز، ولذلك نلجأ إلى التسليم بصحتها. ومن مصادرات إقليدسنجد:
مثلا من نقطة خارج مستقيم لا نستطيع رسم إلا مستقيما واحدا مواز للمستقيمالأول.
المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لا يلتقيان.
المكان سطح مستوي درجةانحنائه يساوي صفر وله ثلاثة إبعاد هي الطول والعرض والارتفاع.
مجموع زواياالمثلث تساوى قائمتين.
وتسمى هذه المبادئ في مجموعها بالمبادئ الرياضيةالكلاسيكية أو بمبادئ النسق الاكسيوماتيكى نسبة إلى كلمة أكسيوم والتي تعنى فيمادة اللغة العربية البديهية. وهو نسق قائم على التمييز بين هذه المبادئ الثلاثة.
نقد :
إن الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19 مأخوذة كحقيقة رياضية مطلقة،أصبحت تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة وما كان ثابتا ومطلقا أصبح متغيراونسبيا،وفي هذا المعنى يقول بوليغان bouligand (( إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليلعلى إن المادة الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة.)). فماهي هذه الأنظمة التي نزعت منالمادة الرياضيات الكلاسيكية صفة اليقين المطلق؟
الأطروحة الثانية: معيار اليقين فيالمادة الرياضيات يتمثل في اتساق النتائج مع المقدمات :قد حاول الرياضيون في مختلف العصورأن يناقشوا مبادئ الهندسة الإقليدية، ولم يتمكنوا منها إلا في العصر الحديث، وهيأطروحة ترى أن معيار الصدق في المادة الرياضيات لا يتمثل في وضوح المبادئ و بداهتها ولكنيتمثل في مدى انسجام وتسلسل منطقي بين الافتراضات أو المنطلقات وبين النتائجالمترتبة عنها، وهي أطروحة حديثة تتعرض بالنقد والتشكيك في مبادئ ونتائج المادة الرياضياتالكلاسيكية. أطروحة مثلها الفرنسي روبير بلا نشي والروسي لوبا تشيفسكي و الألمانيريمان. فما هي هذه الانتقادات والشكوك؟
انتقد الفرنسي روبير بلا نشى فيكتاب كامله(الأكسيوماتيكا) المبادئ الثلاثة للمادة الرياضيات الكلاسيكية:
• التعريفاتالإقليدية ووصفها بأنها تعريفات لغوية لا علاقة لها بالحقيقة الرياضية فهي تعريفاتنجدها في المعاجم اللغوية فهي بذلك لاتهم إلا اللغة.
• هي تعريفات وصفية حسيةتصف المكانالهندسي كما هو موجود حسيا في ارض الواقع وهى بذلك تعريفات تشبه إلى حدبعيد التعريفات في العلوم الطبيعية.
• هي تعريفات لا نستطيع الحكم عليها بأنهاصحيحة أو خاطئة فإذا اعتبرناها نظرية وجب البرهنة عليها، وإذا لم نقدر على ذلك وجباعتبارها مصادرة، وهذا معناه أن التعريفات الإقليدية في حقيقتها عبارة عنمصادرات.
• انتقد بلا نشى أيضا بديهية إقليدس (الكل اكبر من الجزء) معتبرا أنهابديهية خاطئة وليست صحيحة، إذ ثبت أنها صحيحة فقط في المجموعات المنتهية.
• انتقد بلا نشى البديهية أيضا معتبرا أنها صحيحة وصادقة ولا تحتاج إلى برهان فيالمنطق القديم لكن في المادة الرياضيات المعاصرة البديهيات قضايا يجب البرهنة على صحتهاوإذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أي مصادرة.
• أما المصادرات فباعتبارهامسلمات أو موضوعات لا نستطيع البرهنة عليها ففيها تسليم بالعجز، من هنا يعتبربلانشى إن أنسب مبدأ للمادة الرياضيات هو مبدأ المصادرات أي المسلمات أو الفرض رائعيات.
• منهنا فأن هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق، ولا تمثل اليقين الفكري الذي لايمكن نقضه، لقد أصبحت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منهامسلماتها الخاصة بها.
• من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشر أفكارا رياضيةهندسية جديدة تختلف عن مادة الرياضيات إقليدس وسميت بنظرية النسق الاكسيوماتيكى أوبالهندسات اللاإقليدية ، وتجلى ذلك بوضوح من خلال أعمال العالمين الرياضيين لوباتشيفسكي الروسي وريمان الألماني.
في سنة أولى830م شكك العالم الرياضي الروسيلوباتشيفسكى(Lobatchevski(1793-1857م في مصادرات إقليدس السابق ذكرها وتمكن منالاهتداء إلى الأساس الذي بنيت عليه، وهو المكان الحسي المستوى، وهكذا تصور مكاناأخر يختلف عنه وهو المكان المقعر أي الكرة من الداخل، وفى هذه الحالة تمكن منالحصول على هندسة تختلف عن هندسة إقليدس، أي من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكىانه بإمكاننا أن نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم، والمثلث تصير مجموعزواياه اقل من 180 درجة.
وفي سنة أولى854م شكك ا الألماني ريمان 1826-1866م Riemann هو الأخر في مصادرات إقليدس وتمكن من نقضها على أساس أخر، فتصور المكان محدودبا أيالكرة من الخارج واستنتج بناءا على ذلك هندسة جديدة ترى انه لا يمكن رسم أي مواز مننقطة خارج مستقيم، وكل مستقيم منتهى لأنه دائري وجميع المستقيمات تتقاطع في نقطتينفقط والمثلث مجموع زواياه أكثر من 180درجة.
النقد :
إذا كانت المادة الرياضياتالمعاصرة قد أسقطت فكرة البداهة والوضوح والكمال واليقين والمطلقية في المادة الرياضياتالكلاسيكية، وإذا كان الرياضي المعاصر حر في اختيار مقدمات برهانه فهذا لا يعني أنيتعسف في اختياره ووضعها بل يجب أن يخضع في وضعها إلى شروط منطقية صارمة تنسجم فيهاهذه المقدمات مع نتائجها انسجاما منطقيا ضروريا.
التركيب : من خلال ما سبق عرضهنلاحظ أن تعدد الأنساق الرياضية لا يقضي على يقين كل واحد منها، فكل هندسة صادقةصدقا نسقيا إذا أخذت داخل النسق الذي تنتمي إليه وفي هذا المعنى يقول الفرنسي روبيربلا نشى " أما بالنسبة للأنساق في حد ذاتها فلم يعد الأمر يتعلق بصحتها أو بفسادهااللهم إلا بالمعنى المنطقي للانسجام أو التناقض الداخلي، والمبادئ التي تحكمها ليستسوى فرض رائعيات بالمعنى الرياضي لهذا المصطلح."
حل المشكلة :
من خلال ما سبقنستنتج ما يلي:
• إن المادة الرياضيات الإقليدية لم تعد توصف بالكمال والمطلقية، ولمتعد تمثل اليقين الرياضي الوحيد الذي لا يمكن نقضه، بل غدت واحدة من عدد غير محدودمن الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها. ولذلك فأن تعدد الأنساقالرياضية هو دليل على خصوبة الفكر في المجال الرياضي وليس التعدد عيبا ينقص منقيمتها أو يقينها.
• كما أن المعرفة الرياضية لا تكتسي الصفة اليقينية المطلقةإلا في سياق منطلقاتها ونتائجها، وهذه الصفة تجعل من حقائقها الرياضية حقائقنسقية.
• كما أن البرهنة في المادة الرياضيات انطلقت من منطق استنتاجي يعتقد في صدقمبادئه ومقدماته إلى منطق فرض رائعي يفترض صدق مبادئه ومقدماته.
الموضوع :السؤال
ما قيمة المادة الرياضيات؟
المقدمة:المادة الرياضيات علم عقلي مجرد يقوم على البرهان، و يختلف بذلك عن العلوم التجريبية التى تقوم على التجربة، غير أن المادة الرياضيات اليوم تحتل مكانة الصدارة بين العلوم التى لا تستطيع الاستغناء عنها، و اكتسب قيمة كبيرة، ففي ماذا تتمثل هذه القيمة ؟ إذا عرفنا أن المادة الرياضيات علم مجرد لا يدرس لذاته، نتساءل الى أي مدى يمكن ان نتحدث عن قيمة المادة الرياضيات؟
التحليل:تدرس المادة الرياضيات المفاهيم الكمية المجردة القابلة للقياس، بطابع عقلي بحت، الأمر الذي مكنها من الوصول الى نتائج دقيقة وواضحة، تنتج عن المقدمات بطريقة اضطرارية وجوبية، مما يضفي عليها نوعا من الصرامة المنطقية التى تقومّ العقل، وتجعله لا تقع في الخطأ. فإذا قلنا أن 4=2+2=1+1 كانت 4=1+1+1+1 بالضرورة.
هذه الصرامة التى تجعل المادة الرياضيات تمتاز بشكل ملحوظ عن غيرها من العلوم، فتنت أفلاطون فدعا الى إدخالها برنامج إعداد حكام المستقبل، و جعلها شرطا أساسيا للدخول الى أكادميته، غير أن قيمة المادة الرياضيات لم تبرز بالشكل الذي نعرفه اليوم، إلا بعد دخولها عالم الطبيعة، وأصبحت القوانين الفيزيائية تصاغ على شكل علاقة رياضية دقيقة، هذه الدقة التى تعتبر شرط المعرفة العلمية. يرجع مادة التاريخ دخول المادة الرياضيات مجال المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية الى القرن السابع عشر بفضل أعمال كيبلار(1571/1672)الذي صاغ القانون سقوط الأجسام، و ديكارت الذي قدر حركة الكواكب تقديرا كميا، حينها أدرك الإنسان انه لن يتمكن من الغوص في أعماق الطبيعة، للكشف عن أسرارها، إلا إذا تعامل معها بلغة رياضية. يقول غاليلي:" الطبيعة لا تجيب إلا عن الأسئلة المطروحة عليها بلغة رياضية ".
إن المادة الرياضيات عنده هي اللغة التى تفهمها الطبيعة، و بدون المادة الرياضيات ليس هناك مجال للحديث عن المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية، هكذا يقول برانشفيك "إذا فقدت المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية طابع التقدير الكمي للظواهر، صارت مجرد إحساس بكيفيات قابلة للوصف لا غير "، فالمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية عنده بدون مادة الرياضيات تصف ظواهرها، و الوصف أدب و ليس علما، كذلك دخلت المادة الرياضيات مجال الكيمياء على يد الكيميائي الفرنسي لافوازيه(1743/1794) و مجال البيولوجيا على يد مندل (1822/1884)، حين وضع قوانين الوراثة، وأصبحت البيولوجيا لا تستعمل المادة الرياضيات فحسب و غنما تتضمنها.
إن النجاح الكبير الذي أحرزته علوم المادة في استخلاص العلاقات بصيغ كمية، مكنها في التحكم في الكثير من الظواهر، مما جعل العلوم الإنسانية بدورها تعمل على إدخال المادة الرياضيات مجالها ـ لتقترب من الدقة التى تمكنها من الانظمام الى مجموعة العلوم. فاستخلصت قوانين صياغتها على شكل معادلات رياضية، أو مخططات بيانية، أو نسب مئوية كما نرى في الإحصاء، الذي يعتمد عليه الباحثون في علم الاجتماع. لا احد يستطيع أن ينكر اليوم، ونحن في القرن الواحد و العشرين، القيمة الكبيرة للمادة الرياضيات، التى مكنتنا من احتلال مكانة الصدارة بين العلوم و المعارف جميعها. وكانت ثقة الإنسان في المادة الرياضيات كوسيلة لبلوغ الحقيقة التى حلم بها طويلا، لا يتخللها شك أو ريب، بفضل لغة الأعداد، وما تمتاز به من الدقة. إن التقدم المذهل و النجاح الكبير للتكنولوجيا المعاصرة في حضارتنا المادية، ليس إلا برهانا على صحة المادة الرياضيات، وعنوان صدقها، مما يمكننا من القول مع برانسفيك:" أن العمل الحر الخصب للفكر، يبدأ من العصر الذي جاءت فيه المادة الرياضيات، فزودت الإنسان بالمعيار الصحيح للحقيقة " لا يستعمل الإنسان الأعداد في العلوم و التكنولوجيا فحسب، وإنما يستعملها أيضا في حياته اليومية، لتكون أكثر دقة و انضباطا، وأصبحت مقولة الفيثاغوريين " الأعداد تهيمن على العالم " ليست خيالا، و إنما واقع يعيشه الإنسان، يجعله يتعرف بقيمة المادة الرياضيات و فضلها عليه.
لكن ماذا إذا توقفها قليلا، ونظرنا الى المادة الرياضيات كعلم قائم بذاته منفصل عن العلوم ؟ هل يمكن ان تكون لها، في حد ذاتها، نفس القيمة التى اكتسبتها كونها وسيلة ؟ و ما نحن متأكدون منه ان المادة الرياضيات اكتسبت قيمتها لما استعملتها العلوم لغة تتكلم بها، وإن دعوة البعض من المعجبين بها الى دراستها كغاية في ذاتها، مثلما درس المنطق الصوري كغاية في ذاته في القرون الوسطى، خطأ كبير يجعل مصيرها نفس مصير الميتافيزيقا اليوم. ولا يعني هذا أننا نقلل من شأن الميتافيزيقا، ولكن ما نعنيه ان الإنسان اليوم، المتشبع بالروح الوضعية، لا يولي اهتماما كبيرا بها كعلم مجرد بعيد عن الواقع، بالرغم من نداءات كثيرة من الفلاسفة الذين حاولوا أن يردوا لها اعتبارها في زمن العلم و التكنولوجيا.
ما هي المادة الرياضيات بمعزل عن العلوم ؟ إنها علاقة عقلية مجردة تربط منطقيا بين القضايا، أليست الميتافيزيقا علاقات عقلية مجردة تربط منطقيا ؟ لا نعتقد أن المادة الرياضيات بمعزل عن العلوم ستجد من يهتم بها سوى بعض المعجبين الذين يجدون فيها متعة خالصة. أما عن قول فردناند (1866/1952):أن بالعمليات الرياضية وحدها يمكن الكشف عن أسرار الطبيعة، يضفي على المادة الرياضيات طابعا سحريا، و يبعدها عن الواقع. إن المادة الرياضيات لا تستطيع معرفة الطبيعة إلا إذا اتصلت بها. دخول المادة الرياضيات مجال المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية " و عقلنة الطبيعة " لا يعني أن الرياضي يمكنه أن يعمد الى نوع من التأهيل العقلي ليصل الى المعرفة أسرار الكون، بل بالعكس معرفة الطبيعة تكون بفضل التجربة التى تكشف عن أسباب الظواهر، ثم تتدخل المادة الرياضيات، بعد ذلك، لتعبر عنها بلغة الأعداد الدقيقة. إن الإنسان لا يدرس المادة الرياضيات كغاية، وإنما يدرسها كوسيلة تستعملها العلوم بعد كشفها عن العلاقات بين الظواهر، لتعبر عنها بعد ذلك بأسلوب الكم. لنقل أن المادة الرياضيات خادمة العلوم، التى هي سيدتها.
و يجدر بنا أن نشير الى كون المادة الرياضيات وسيلة العلوم، لا ينفي عنها كل قيمة في ذاتها. فإن المادة الرياضيات تعتبر بحق أفضل و أنسب علم يعلم العقل كيف يجرد أفكاره و يقدمها في تسلسل منطقي محكم. فتعرف الإنسان بخفايا عقله، و قدرته على الغوص في أعماق العالم المجرد. وإذا كانت العلوم تعلمنا حقيقة الطبيعة، فإن المادة الرياضيات تعلمنا حقيقة الفكر.
أما التهمة التى وجهت إليها، على أنها مجرد قضايا عقلية مجردة بعيدة عن الواقع، فيمكن ردها: إن المادة الرياضيات اليوم تبدو متلائمة مع الواقع. يقول لوتمان:" إن التصورات الرياضية تتمثل ككائنات عقلانية يضعها العقل في تلاؤم مع الطبيعة و الكون ". و الدليل أن تصورات ريمان للمكان وجدت عالما يناسبها في المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية إنشتاين التى تطبقها.
الخاتمة:وهكذا نستنتج أن المادة الرياضيات وسيلة أكثر مما هي غاية، وإن كانت تفيد الإنسان كغاية، فإنها تفيد أكثر كوسيلة، تستعملها العلوم للكشف عن أسرار الطبيعة، و بلوغ الحقيقة، فإذا كانت المادة الرياضيات قد أكسبت العلوم قيمة بفضل أسلوبها الدقيق، فإن العلوم قد أكسبت المادة الرياضيات قيمة، كلغة لا يمكن التخلي عنها، في سعي الإنسان نحو الحقيقة.
ما الفرق بين البديهية و المسلمة؟
طريقةالمقارنة:
المقدمة: تدرس المادة الرياضيات الكميات العقلية المجردة و لذلك كاناستدلالها استدلالا عقليا مجردا يستند الى جملة من المبادىء العقلية من بينهاالبديهيات و المسلمات . فاذا كانت كل من البديهية و المسلمة مبادىء عقليةنستند اليها في عملية البرهان، فهل هذا يعني أنهما شيء واحد ؟ أم أنهمامتغايران تماما؟
التحليل:
أوجه التشابه:
- البديهيات والمسلماتقضايا يسلم بها العقل مباشرة وبدون برهان لشدة وضوحها.
- انها قضايا أوليةنستند إليها للبرهنة على قضايا أخرى،فهي أساس الاستدلال ولا تحتاج إلىاستدلال.
- تقوم البديهية والمصادرة على مبدأ عدم التناقض.
أوجهالاختلاف:
- البديهية من بناء العقل ونسيجه أما المسلمة فهي من وضع العقلالذي ابتدعها بغية استعمالها وادخالها في سلسلة من المحاكمات.
- البديهيةقضية واضحة بذاتها أما المسلمة فبالرغم من أننا نسلم بها مباشرة الا أنوضوحها يتوقف على ما يؤسس عليها من بناء رياضي منسجم.
- البديهية عامة أماالمسلمة خاصة : فلكل علم مسلماته بل قد تتعدد المسلمات في علم واحد كما هوالحال في مجال الهندسة .
- البديهية حكم تحليلي محمولها يدخل في تركيبالموضوع أما المسلمة فهي حكم تركيبي لأن محمولها لا يدخل في تركيب الموضوع بليضيف له.
مواطن التداخل: البديهيات مبادىء عقلية أولية و بالتالي فهيسابقة على المسلمة التي لا ينبغي أن تتنافى معها. لكن البديهية ليست كافيةلتأسيس علم ما ولذلك فان المسلمة مكملة لها باعتبارها قضايا أولية في العلم.
النتيجة:
ان شدة التداخل و التطابق الوظيفي بين البديهية و المصادرةجعل كثيرا من العلماء لا يميزون بينهما في العصرالحديث.
يقال: المادة الرياضيات هي اللغة التييجب أن تتكلم بها مختلف العلوم، ما رأيك!!.
مقدمة: تنقسم العلوم إلى شعبتينأساسيتين هما: علوم تجريبية تعتمد على الاستقراء كمنهج و على إجراء التجاربكوسيلة و هي تدرس الواقع الحسي، و علوم نظرية تعتمد على دراسة المعقولات وتتخذ الاستنتاج كمنهج كما هو حال المنطق و المادة الرياضيات فإذا علمنا أن العلومالمختلفة تعبر عن أفكارها بلغة المادة الرياضيات فالمشكلة المطروحة : * كيف نفسر ذلكو بتعبير أوضح؟ كيف نفسر خصوبة المادة الرياضيات و تأثيرها في العلومالمختلفة؟
المادة الرياضيات تفكير عقلي مجرد موضوعها دراسة الكم قال عنها ديكارتهي علم القياس موضوعها الكميات الموجودة و تعرف المادة الرياضيات على أنها هي علمالمقدار أو الكم القابل للقياس المتصل و المنفصل و الكم المتصل يتمثل فيالمكان أو الامتدادات الهندسية و الكم المنفصل يتمثل في الأعداد ـ الحساب- ومنها ما هو متغير القيمة و يسمى علم الحساب و منها ما هو متغير القيمة مثلاستخدام الحروف بدل الأعداد و هذا هو علم الجبر و المقصود بالكم القابلللقياس أن هناك بعض الكميات لا تقاس مثل الانفعالات التي لا تقبل عملياتالقياس . و رأت جماعة من الرياضيين الفرنسيين المعاصرين تعرف بجماعةنيوكولابروباكي أنه هناك اتفاق ساد إلى غاية القرن 19 على أن موضوع المادة الرياضياتهو ما قاله أفلاطون قديما هو الأعداد و المقادير والأشكال و كان قديما مايضاف إلى المادة الرياضيات الميكانيك و الفلك و البصريات و الموسيقى لكن الإغريقفصلوها عن المادة الرياضيات و ميزوها عن الحساب و الهندسة حتى جاء عصر النهضة فدخلتهذه العلوم سريعا في عداد العلوم المستقلة و للمادة الرياضيات مبادئ هي مجموعة منالقضايا العامة و الأولية التي يقبلها الرياضي دون برهان عليها قال عنهاأرسطو : هي ما يجب أن يتعلمه الطالب قبل تعلم العلم نفسه . و هي على ثلاثةأنواع مسلمات، تعريفات ، بديهيات .
من الناحية المادة التاريخية يعتبر فيثاغورسأبرز من تحدث عن أهمية المادة الرياضيات حيث قال في عبارة مجازية ( الأعداد تحكمالعالم) و معنى ذلك أن الكون قد صنع وفق حسابات رياضية و جاء من بعده أفلاطونو كتب على باب الأكاديمية (لا يدخلها إلا من أتقن المادة الرياضيات ) و الهدف واضحمن ذلك و هو غرس الأسلوب العلمي بين التفكير و مطالع العصر الحديث تجسدالاهتمام أكبر بالمادة الرياضيات حيث استعارت العلوم المختلفة اللغة الرياضية فأصبحتالمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية تستعمل الأرقام أو الحروف و هنا تسارع التطور داخل هذا العلم بل وباقي العلوم الأخرى و من هذا قال الفرنسي برغستون(العلم الحديث ابن المادة الرياضياتلم يتولد إلا بعدما صار الجبر مرنا قادرا على شبك الحقائق و الإيقاع بها فيشباكه) و أكثر من ذلك أصبحت المادة الرياضيات هي المرجعية التي نعود إليها عندمانريد التأكد من صحة أي علم و هذا ما نلاحظه في العلوم ط و المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية حيث يتماستعمال المعدلات المادة الرياضيات و المنحنيات البيانية بل و حتى الرسومات لتوضيحالأفكار العلمية و من ثم البرهنة عليها قال أوجستت كونت ( المادة الرياضيات هيالأدلة الضرورية لكل العلوم ) و نستطيع أن نلخص مدى اهتمام العلوم المختلفةبالمادة الرياضيات فهي عبارة تؤكد ذلك حيث قال أوجست كونت ( المادة الرياضيات أكثر من علمإنها النظام العام للفكر و الأشياء).
تتجلى قيمة المادة الرياضيات في نقاط كثيرةو أول هذه العناصر لغة المادة الرياضيات إنها لغة كمية تعتمد على الأرقام و الحروف والثوابت والمتغيرات مما يجعلها لغة دقيقة نتيجة الإنفاق حول معاني الرموز وموضوعية لأن لا مجال فيها للعواطف و الأهوال و سريعة ومختصرة للوقت و الجهدقال عنها برغستون (المادة الرياضيات هي اللغة الوحيدة التي يجب أن يتكلم بها كل علم ) و من مزايا المادة الرياضيات أنها تتغير بمنهج منظم هو المنهج الاستدلالي مما يسهلاكتشاف الأخطاء و تصحيح نمذجي مفصلها بل أن المادة الرياضيات عبارة عن نسق يقبل التعديل والتفسير و نتائج المادة الرياضيات أكثر مصداقية و لهذا قيل إن العلوم المختلفة لاتطبق المادة الرياضيات بل تتضمنها .
ما الذي يميز الحقيقةالرياضية عن الحقيقة التجريبية ؟
المقدمة : إن غاية العلوم المختلفة هي الوصول إلى حقائق، تختلف بإختلاف طبيعة الموضوع فتكون مجردة كما هو الحال في المادة الرياضيات، أو تجريبية كما هو الحال بالنسبة لعلوم المادة . فما الذي يميز المادة الرياضيات عن علوم المادة ؟و ما الفرق بين الحقيقة الرياضية والحقيقة التجريبية ؟
التوسيع :. I – أوجه الاختلاف : تهتم المادة الرياضيات بدراسة المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس أما علوم المادة، فموضوعها الظواهر الطبيعية المختلفة الجامدة منها والحية.
إن اختلاف الموضوع يؤدي إلى اختلاف المنهج بحيث أن منهج المادة الرياضيات منهج عقلي استنتاجي، يقوم على استخراج النتائج من المقدمات اللاّزمة عنها لزومًا ضروريا ومنطقيا.لأن معيار الصدق في المادة الرياضيات هو تطابق الفكر مع ذاته دون مراعاة الواقع.
أما منهج العلوم الطبيعية فهو منهج إستقرائي ينتقل فيه العالم من دراسة العينات إلى إستخلاص القوانين وتعميمها. وهو منهج يعتمد على خطوات أساسية :
من ملاحظة – فرض رائعية – تجربة وقانون. وعليه فإن طريقة الرياضي إستنتاجية ينتقل فيها من العام إلى الخاص، أما طريقة العالم فهي إستقرائية ينتقل فيها من الخاص إلى العام.
إن نتائج المادة الرياضيات يقينية ثابتة لآن موضوعها المفاهيم العقلية المجردة ، التي لا يطرأعليها أي تغيير في حين أن نتائج علوم المادة ، نسبية متغيرة لآن موضوعها هو الواقع النسبي المتغير. وبما أن معيار الصدق فيها تطابق الفكر مع ذاته ومع الواقع كانت نتائجها نسبية متغيرة. لهذا يقول " كلود برنار" : إن مبدأ العالم الرياضي يصير مبدأ مطلقا لآنه لا ينطبق على الواقع الموضوعي كما هو، ولكن على علاقات الأشياء المأخوذة في شروط بسيطة يختارها الرياضي ويخلقها في فكرة بشكل من الأشكال.لكن هذا الإختلاف لا يعني عدم وجود عناصر مشتركة بينهما.
أوجه الشبه : كل من الرياضي وعالم المادة يفترض، ثم يستدل على صحة ما إفترض، وكلاهما ينطلق من فكرة يعرفها العقل.
الخاتمة :
نسبة الترابط : إن المادة الرياضيات تعتبر مثل أعلى لجميع العلوم الواقعية التجريبية . نظرًا لدقتها ويقينها.ولذا تصاغ كل القوانين العلمية في قالب رياضي . وكمي، كما هو الحال بالنسبة للمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية، كصياغة "غاليلي" لقانون سقوط الأجسام في لغة رياضية. وكذلك" مندل "عندما صاغ قوانين الوراثة على شكل نسب مئوية....إلخ. ومنه فإن التعارض بين المادة الرياضيات وعلوم المادة تعارض زائف لهذا رفض" غاستون باشلار" الفصل بينهما.
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/hphotos-ak-ash4/482113_236967293114455_1193518507_n.png (http://www.dzbatna.com)
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى (http://www.dzbatna.com)©
المقالة الأولى : مقالة مقارنةبين المادة الرياضيات الكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة
طرح المشكلة :تعتبر المادة الرياضياتمفاهيم عقلية مجردة بعيدة عن المحسوس مرت بعدة منعرجات أهمها الثورة العلمية علىالمفاهيم الكلاسيكية في القرن 19 الأمر الذي جعل هناك اختلاف بين المادة الرياضياتالكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة وهذا ما يجعلنا نتساءل عن العلاقة بين هما،ماهيالعلاقة بين المادة الرياضيات الكلاسيكية والمادة الرياضيات المعاصرة؟
محاولة حل المشكلة :
1 ــ أوجه التشابه :
ــ كلاهما يعتمد على مبادئ عقلية بعيدة عنالمحسوس
ــ كل منهما ساهم في تطوير العلم
ــ كل منهما يعتمد علىالبرهنة
2 ــ أوجه الاختلاف :
ــ المادة الرياضيات الكلاسيكية تعتمد على المبادئالثلاث هي البديهيات والمسلمات والتعريفات أما المادة الرياضيات المعاصرة فتعتمد علىلأوليات
ــ موضوع المادة الرياضيات الكلاسيكية هو الحكم المتصل والمنفصل أماالمادة الرياضيات المعاصرة تميزت بظهور هندسات جديدة لاإقليدية (ريمان و لوباتشفسكي)
ــالمفاهيم عند الكلاسيكيين هي مفاهيم فطرية أما المفاهيم الرياضية عند المحدثين فهيتستند إلى فعالية العقل في بناء الموضوعات الرياضية
ــ المنهج في المادة الرياضياتالكلاسيكية قائم على التحليل والتركيب أما المنهج في المادة الرياضيات المعاصرة هو منهجأكسيومي (فرض رائعي استنتاجي)
3 ــ مواطن التداخل :
ــ تعتبر المادة الرياضياتالكلاسيكية أرضية مهدت لوجود المادة الرياضيات المعاصرة بدليل الإرتباط الوثيق بينهماوالعلاقة الموجودة بينهما هي تكامل
خاتمة وحل المشكلة:
المادة الرياضياتالمعاصرة لا تهدم المادة الرياضيات الكلاسيكية بل تختلف عنها من جهة العقلانية التي تستندإليها.
2 هل معيار الحقيقة فيالمادة الرياضيات يكمن في البداهة والوضوح أم في أتساق النتائج مع المقدمات؟
طرحالمشكلة :
توصف المعرفة الرياضية بالصناعة الصحيحة واليقينية في منطلقاتهاونتائجها، لكن التساؤل عن معيار اليقين في المادة الرياضيات كشف انه ليس معيارا واحدا فيالمادة الرياضيات الإقليدية والمادة الرياضيات المعاصرة، ذلك أن المادة الرياضيات الإقليدية تعتقد جازمةببداهة ووضوح مبادئها وترى فيها النموذج مقترح الوحيد في الصدق المطلق، أما الرياضييالمعاصر فلا تهمه المبادئ ذاتها لأنها تشكل مقدمات في النسق الرياضي ، بقدر ما يهمهالنسق الرياضي في مجمله أي أن عدم تناقض المقدمات مع النتائج هو معيار اليقين فيالمادة الرياضيات. وفي ذلك نطرح السؤال التالي:
هل معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل فيبداهة ووضوح مبادئها أم يتمثل في اتساق نتائجها مع مقدماتها؟
محاولة حلالمشكلة :
الأطروحة الاولى : معيار اليقين في المادة الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوحمبادئها أسست المادة الرياضيات الكلاسيكية مادة التاريخيا قبل عصر النهضة بقرون عديدة قبل الميلادعلى يد فيلسوف ورياضي يوناني مشهور اسمه إقليدس (306ق.م/253ق.م)، إذ سيطرت مادة الرياضياتهالكلاسيكية على العقل البشري إلى غاية القرن التاسع عشر الميلادي، حتى ضن العلماءأنها المادة الرياضيات الوحيدة التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية.
اعتمدت المادة الرياضياتالكلاسيكية على مجموعة من المبادئ أو المنطلقات التي لا يمكن للرياضيي التراجع فيالبرهنة عليها إلى ما لا نهاية، فهي قضايا أولية وبديهية لا يمكن استخلاصها منغيرها،وهي مبادئ لا تحتاج إلى برهان على صحتها لأنها واضحة بذاتها من جهة و لأنهاضرورية لقيام المعرفة الرياضية من جهة أخرى، يستخدمها الرياضي في حل كل قضاياهالرياضية المختلفة، فما هي هذه الميادئ؟
التعريفات الرياضية definitions mathematiquales
هي أولى القضايا التي يلجأ إليها الرياضي من اجل بناء معنىرياضي وإعطائه تمييزا يختلف عن غيره من المعاني الرياضية الأخرى، ومن أهم التعريفاتالإقليدية الرياضية، نجد تعريف المثلث بأنه شكل هندسي له ثلاثة أضلاع متقاطعة مثنىمثنى مجموع زواياه تساوى 180درجة. والنقطة هي شكل هندسي ليس لها أبعاد، أو هي حاصلالتقاء خطين. والخط المستقيم هو امتداد بدون عرض.
البديهيات les axiomes
هيقضايا واضحة بذاتها،صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتاج إلى دليل على صحتها برأيالكلاسيكيين، أي لا يمكن للعقل إثباتها أي تفرض رائع نفسها على العقل بوضوحها لأنهاتستند إلى تماسك مبادئ العقل مع ذاته، فهي قضايا قبلية نشأت في العقل قبل التجربةالحسية، فهي قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان أو استدلال، كما أنها قضاياتحليلية موضوعها لا يضيف علما جديدا إلى محمولها، ومنها بديهيات إقليدس التيتقول:
إن الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل.
الكميتان المساويتان لكميةثالثة متساويتان.
وبين نقطتين لا يمكن رسم إلا مستقيما واحدا.
وإذا أضيفتكميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية.
المصادرات les postulats
تسمى أحيانا بالأوليات وأحيانا بالموضوعات .وأحيانا بالمسلمات لانالرياضي هو الذي يضعها فهي إذن قضايا لا نستطيع البرهنة على صحتها وليست واضحةبذاتها، أي فيها تسليم بالعجز، ولذلك نلجأ إلى التسليم بصحتها. ومن مصادرات إقليدسنجد:
مثلا من نقطة خارج مستقيم لا نستطيع رسم إلا مستقيما واحدا مواز للمستقيمالأول.
المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لا يلتقيان.
المكان سطح مستوي درجةانحنائه يساوي صفر وله ثلاثة إبعاد هي الطول والعرض والارتفاع.
مجموع زواياالمثلث تساوى قائمتين.
وتسمى هذه المبادئ في مجموعها بالمبادئ الرياضيةالكلاسيكية أو بمبادئ النسق الاكسيوماتيكى نسبة إلى كلمة أكسيوم والتي تعنى فيمادة اللغة العربية البديهية. وهو نسق قائم على التمييز بين هذه المبادئ الثلاثة.
نقد :
إن الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19 مأخوذة كحقيقة رياضية مطلقة،أصبحت تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة وما كان ثابتا ومطلقا أصبح متغيراونسبيا،وفي هذا المعنى يقول بوليغان bouligand (( إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليلعلى إن المادة الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة.)). فماهي هذه الأنظمة التي نزعت منالمادة الرياضيات الكلاسيكية صفة اليقين المطلق؟
الأطروحة الثانية: معيار اليقين فيالمادة الرياضيات يتمثل في اتساق النتائج مع المقدمات :قد حاول الرياضيون في مختلف العصورأن يناقشوا مبادئ الهندسة الإقليدية، ولم يتمكنوا منها إلا في العصر الحديث، وهيأطروحة ترى أن معيار الصدق في المادة الرياضيات لا يتمثل في وضوح المبادئ و بداهتها ولكنيتمثل في مدى انسجام وتسلسل منطقي بين الافتراضات أو المنطلقات وبين النتائجالمترتبة عنها، وهي أطروحة حديثة تتعرض بالنقد والتشكيك في مبادئ ونتائج المادة الرياضياتالكلاسيكية. أطروحة مثلها الفرنسي روبير بلا نشي والروسي لوبا تشيفسكي و الألمانيريمان. فما هي هذه الانتقادات والشكوك؟
انتقد الفرنسي روبير بلا نشى فيكتاب كامله(الأكسيوماتيكا) المبادئ الثلاثة للمادة الرياضيات الكلاسيكية:
• التعريفاتالإقليدية ووصفها بأنها تعريفات لغوية لا علاقة لها بالحقيقة الرياضية فهي تعريفاتنجدها في المعاجم اللغوية فهي بذلك لاتهم إلا اللغة.
• هي تعريفات وصفية حسيةتصف المكانالهندسي كما هو موجود حسيا في ارض الواقع وهى بذلك تعريفات تشبه إلى حدبعيد التعريفات في العلوم الطبيعية.
• هي تعريفات لا نستطيع الحكم عليها بأنهاصحيحة أو خاطئة فإذا اعتبرناها نظرية وجب البرهنة عليها، وإذا لم نقدر على ذلك وجباعتبارها مصادرة، وهذا معناه أن التعريفات الإقليدية في حقيقتها عبارة عنمصادرات.
• انتقد بلا نشى أيضا بديهية إقليدس (الكل اكبر من الجزء) معتبرا أنهابديهية خاطئة وليست صحيحة، إذ ثبت أنها صحيحة فقط في المجموعات المنتهية.
• انتقد بلا نشى البديهية أيضا معتبرا أنها صحيحة وصادقة ولا تحتاج إلى برهان فيالمنطق القديم لكن في المادة الرياضيات المعاصرة البديهيات قضايا يجب البرهنة على صحتهاوإذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أي مصادرة.
• أما المصادرات فباعتبارهامسلمات أو موضوعات لا نستطيع البرهنة عليها ففيها تسليم بالعجز، من هنا يعتبربلانشى إن أنسب مبدأ للمادة الرياضيات هو مبدأ المصادرات أي المسلمات أو الفرض رائعيات.
• منهنا فأن هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق، ولا تمثل اليقين الفكري الذي لايمكن نقضه، لقد أصبحت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منهامسلماتها الخاصة بها.
• من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشر أفكارا رياضيةهندسية جديدة تختلف عن مادة الرياضيات إقليدس وسميت بنظرية النسق الاكسيوماتيكى أوبالهندسات اللاإقليدية ، وتجلى ذلك بوضوح من خلال أعمال العالمين الرياضيين لوباتشيفسكي الروسي وريمان الألماني.
في سنة أولى830م شكك العالم الرياضي الروسيلوباتشيفسكى(Lobatchevski(1793-1857م في مصادرات إقليدس السابق ذكرها وتمكن منالاهتداء إلى الأساس الذي بنيت عليه، وهو المكان الحسي المستوى، وهكذا تصور مكاناأخر يختلف عنه وهو المكان المقعر أي الكرة من الداخل، وفى هذه الحالة تمكن منالحصول على هندسة تختلف عن هندسة إقليدس، أي من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكىانه بإمكاننا أن نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم، والمثلث تصير مجموعزواياه اقل من 180 درجة.
وفي سنة أولى854م شكك ا الألماني ريمان 1826-1866م Riemann هو الأخر في مصادرات إقليدس وتمكن من نقضها على أساس أخر، فتصور المكان محدودبا أيالكرة من الخارج واستنتج بناءا على ذلك هندسة جديدة ترى انه لا يمكن رسم أي مواز مننقطة خارج مستقيم، وكل مستقيم منتهى لأنه دائري وجميع المستقيمات تتقاطع في نقطتينفقط والمثلث مجموع زواياه أكثر من 180درجة.
النقد :
إذا كانت المادة الرياضياتالمعاصرة قد أسقطت فكرة البداهة والوضوح والكمال واليقين والمطلقية في المادة الرياضياتالكلاسيكية، وإذا كان الرياضي المعاصر حر في اختيار مقدمات برهانه فهذا لا يعني أنيتعسف في اختياره ووضعها بل يجب أن يخضع في وضعها إلى شروط منطقية صارمة تنسجم فيهاهذه المقدمات مع نتائجها انسجاما منطقيا ضروريا.
التركيب : من خلال ما سبق عرضهنلاحظ أن تعدد الأنساق الرياضية لا يقضي على يقين كل واحد منها، فكل هندسة صادقةصدقا نسقيا إذا أخذت داخل النسق الذي تنتمي إليه وفي هذا المعنى يقول الفرنسي روبيربلا نشى " أما بالنسبة للأنساق في حد ذاتها فلم يعد الأمر يتعلق بصحتها أو بفسادهااللهم إلا بالمعنى المنطقي للانسجام أو التناقض الداخلي، والمبادئ التي تحكمها ليستسوى فرض رائعيات بالمعنى الرياضي لهذا المصطلح."
حل المشكلة :
من خلال ما سبقنستنتج ما يلي:
• إن المادة الرياضيات الإقليدية لم تعد توصف بالكمال والمطلقية، ولمتعد تمثل اليقين الرياضي الوحيد الذي لا يمكن نقضه، بل غدت واحدة من عدد غير محدودمن الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها. ولذلك فأن تعدد الأنساقالرياضية هو دليل على خصوبة الفكر في المجال الرياضي وليس التعدد عيبا ينقص منقيمتها أو يقينها.
• كما أن المعرفة الرياضية لا تكتسي الصفة اليقينية المطلقةإلا في سياق منطلقاتها ونتائجها، وهذه الصفة تجعل من حقائقها الرياضية حقائقنسقية.
• كما أن البرهنة في المادة الرياضيات انطلقت من منطق استنتاجي يعتقد في صدقمبادئه ومقدماته إلى منطق فرض رائعي يفترض صدق مبادئه ومقدماته.
الموضوع :السؤال
ما قيمة المادة الرياضيات؟
المقدمة:المادة الرياضيات علم عقلي مجرد يقوم على البرهان، و يختلف بذلك عن العلوم التجريبية التى تقوم على التجربة، غير أن المادة الرياضيات اليوم تحتل مكانة الصدارة بين العلوم التى لا تستطيع الاستغناء عنها، و اكتسب قيمة كبيرة، ففي ماذا تتمثل هذه القيمة ؟ إذا عرفنا أن المادة الرياضيات علم مجرد لا يدرس لذاته، نتساءل الى أي مدى يمكن ان نتحدث عن قيمة المادة الرياضيات؟
التحليل:تدرس المادة الرياضيات المفاهيم الكمية المجردة القابلة للقياس، بطابع عقلي بحت، الأمر الذي مكنها من الوصول الى نتائج دقيقة وواضحة، تنتج عن المقدمات بطريقة اضطرارية وجوبية، مما يضفي عليها نوعا من الصرامة المنطقية التى تقومّ العقل، وتجعله لا تقع في الخطأ. فإذا قلنا أن 4=2+2=1+1 كانت 4=1+1+1+1 بالضرورة.
هذه الصرامة التى تجعل المادة الرياضيات تمتاز بشكل ملحوظ عن غيرها من العلوم، فتنت أفلاطون فدعا الى إدخالها برنامج إعداد حكام المستقبل، و جعلها شرطا أساسيا للدخول الى أكادميته، غير أن قيمة المادة الرياضيات لم تبرز بالشكل الذي نعرفه اليوم، إلا بعد دخولها عالم الطبيعة، وأصبحت القوانين الفيزيائية تصاغ على شكل علاقة رياضية دقيقة، هذه الدقة التى تعتبر شرط المعرفة العلمية. يرجع مادة التاريخ دخول المادة الرياضيات مجال المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية الى القرن السابع عشر بفضل أعمال كيبلار(1571/1672)الذي صاغ القانون سقوط الأجسام، و ديكارت الذي قدر حركة الكواكب تقديرا كميا، حينها أدرك الإنسان انه لن يتمكن من الغوص في أعماق الطبيعة، للكشف عن أسرارها، إلا إذا تعامل معها بلغة رياضية. يقول غاليلي:" الطبيعة لا تجيب إلا عن الأسئلة المطروحة عليها بلغة رياضية ".
إن المادة الرياضيات عنده هي اللغة التى تفهمها الطبيعة، و بدون المادة الرياضيات ليس هناك مجال للحديث عن المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية، هكذا يقول برانشفيك "إذا فقدت المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية طابع التقدير الكمي للظواهر، صارت مجرد إحساس بكيفيات قابلة للوصف لا غير "، فالمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية عنده بدون مادة الرياضيات تصف ظواهرها، و الوصف أدب و ليس علما، كذلك دخلت المادة الرياضيات مجال الكيمياء على يد الكيميائي الفرنسي لافوازيه(1743/1794) و مجال البيولوجيا على يد مندل (1822/1884)، حين وضع قوانين الوراثة، وأصبحت البيولوجيا لا تستعمل المادة الرياضيات فحسب و غنما تتضمنها.
إن النجاح الكبير الذي أحرزته علوم المادة في استخلاص العلاقات بصيغ كمية، مكنها في التحكم في الكثير من الظواهر، مما جعل العلوم الإنسانية بدورها تعمل على إدخال المادة الرياضيات مجالها ـ لتقترب من الدقة التى تمكنها من الانظمام الى مجموعة العلوم. فاستخلصت قوانين صياغتها على شكل معادلات رياضية، أو مخططات بيانية، أو نسب مئوية كما نرى في الإحصاء، الذي يعتمد عليه الباحثون في علم الاجتماع. لا احد يستطيع أن ينكر اليوم، ونحن في القرن الواحد و العشرين، القيمة الكبيرة للمادة الرياضيات، التى مكنتنا من احتلال مكانة الصدارة بين العلوم و المعارف جميعها. وكانت ثقة الإنسان في المادة الرياضيات كوسيلة لبلوغ الحقيقة التى حلم بها طويلا، لا يتخللها شك أو ريب، بفضل لغة الأعداد، وما تمتاز به من الدقة. إن التقدم المذهل و النجاح الكبير للتكنولوجيا المعاصرة في حضارتنا المادية، ليس إلا برهانا على صحة المادة الرياضيات، وعنوان صدقها، مما يمكننا من القول مع برانسفيك:" أن العمل الحر الخصب للفكر، يبدأ من العصر الذي جاءت فيه المادة الرياضيات، فزودت الإنسان بالمعيار الصحيح للحقيقة " لا يستعمل الإنسان الأعداد في العلوم و التكنولوجيا فحسب، وإنما يستعملها أيضا في حياته اليومية، لتكون أكثر دقة و انضباطا، وأصبحت مقولة الفيثاغوريين " الأعداد تهيمن على العالم " ليست خيالا، و إنما واقع يعيشه الإنسان، يجعله يتعرف بقيمة المادة الرياضيات و فضلها عليه.
لكن ماذا إذا توقفها قليلا، ونظرنا الى المادة الرياضيات كعلم قائم بذاته منفصل عن العلوم ؟ هل يمكن ان تكون لها، في حد ذاتها، نفس القيمة التى اكتسبتها كونها وسيلة ؟ و ما نحن متأكدون منه ان المادة الرياضيات اكتسبت قيمتها لما استعملتها العلوم لغة تتكلم بها، وإن دعوة البعض من المعجبين بها الى دراستها كغاية في ذاتها، مثلما درس المنطق الصوري كغاية في ذاته في القرون الوسطى، خطأ كبير يجعل مصيرها نفس مصير الميتافيزيقا اليوم. ولا يعني هذا أننا نقلل من شأن الميتافيزيقا، ولكن ما نعنيه ان الإنسان اليوم، المتشبع بالروح الوضعية، لا يولي اهتماما كبيرا بها كعلم مجرد بعيد عن الواقع، بالرغم من نداءات كثيرة من الفلاسفة الذين حاولوا أن يردوا لها اعتبارها في زمن العلم و التكنولوجيا.
ما هي المادة الرياضيات بمعزل عن العلوم ؟ إنها علاقة عقلية مجردة تربط منطقيا بين القضايا، أليست الميتافيزيقا علاقات عقلية مجردة تربط منطقيا ؟ لا نعتقد أن المادة الرياضيات بمعزل عن العلوم ستجد من يهتم بها سوى بعض المعجبين الذين يجدون فيها متعة خالصة. أما عن قول فردناند (1866/1952):أن بالعمليات الرياضية وحدها يمكن الكشف عن أسرار الطبيعة، يضفي على المادة الرياضيات طابعا سحريا، و يبعدها عن الواقع. إن المادة الرياضيات لا تستطيع معرفة الطبيعة إلا إذا اتصلت بها. دخول المادة الرياضيات مجال المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية " و عقلنة الطبيعة " لا يعني أن الرياضي يمكنه أن يعمد الى نوع من التأهيل العقلي ليصل الى المعرفة أسرار الكون، بل بالعكس معرفة الطبيعة تكون بفضل التجربة التى تكشف عن أسباب الظواهر، ثم تتدخل المادة الرياضيات، بعد ذلك، لتعبر عنها بلغة الأعداد الدقيقة. إن الإنسان لا يدرس المادة الرياضيات كغاية، وإنما يدرسها كوسيلة تستعملها العلوم بعد كشفها عن العلاقات بين الظواهر، لتعبر عنها بعد ذلك بأسلوب الكم. لنقل أن المادة الرياضيات خادمة العلوم، التى هي سيدتها.
و يجدر بنا أن نشير الى كون المادة الرياضيات وسيلة العلوم، لا ينفي عنها كل قيمة في ذاتها. فإن المادة الرياضيات تعتبر بحق أفضل و أنسب علم يعلم العقل كيف يجرد أفكاره و يقدمها في تسلسل منطقي محكم. فتعرف الإنسان بخفايا عقله، و قدرته على الغوص في أعماق العالم المجرد. وإذا كانت العلوم تعلمنا حقيقة الطبيعة، فإن المادة الرياضيات تعلمنا حقيقة الفكر.
أما التهمة التى وجهت إليها، على أنها مجرد قضايا عقلية مجردة بعيدة عن الواقع، فيمكن ردها: إن المادة الرياضيات اليوم تبدو متلائمة مع الواقع. يقول لوتمان:" إن التصورات الرياضية تتمثل ككائنات عقلانية يضعها العقل في تلاؤم مع الطبيعة و الكون ". و الدليل أن تصورات ريمان للمكان وجدت عالما يناسبها في المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية إنشتاين التى تطبقها.
الخاتمة:وهكذا نستنتج أن المادة الرياضيات وسيلة أكثر مما هي غاية، وإن كانت تفيد الإنسان كغاية، فإنها تفيد أكثر كوسيلة، تستعملها العلوم للكشف عن أسرار الطبيعة، و بلوغ الحقيقة، فإذا كانت المادة الرياضيات قد أكسبت العلوم قيمة بفضل أسلوبها الدقيق، فإن العلوم قد أكسبت المادة الرياضيات قيمة، كلغة لا يمكن التخلي عنها، في سعي الإنسان نحو الحقيقة.
ما الفرق بين البديهية و المسلمة؟
طريقةالمقارنة:
المقدمة: تدرس المادة الرياضيات الكميات العقلية المجردة و لذلك كاناستدلالها استدلالا عقليا مجردا يستند الى جملة من المبادىء العقلية من بينهاالبديهيات و المسلمات . فاذا كانت كل من البديهية و المسلمة مبادىء عقليةنستند اليها في عملية البرهان، فهل هذا يعني أنهما شيء واحد ؟ أم أنهمامتغايران تماما؟
التحليل:
أوجه التشابه:
- البديهيات والمسلماتقضايا يسلم بها العقل مباشرة وبدون برهان لشدة وضوحها.
- انها قضايا أوليةنستند إليها للبرهنة على قضايا أخرى،فهي أساس الاستدلال ولا تحتاج إلىاستدلال.
- تقوم البديهية والمصادرة على مبدأ عدم التناقض.
أوجهالاختلاف:
- البديهية من بناء العقل ونسيجه أما المسلمة فهي من وضع العقلالذي ابتدعها بغية استعمالها وادخالها في سلسلة من المحاكمات.
- البديهيةقضية واضحة بذاتها أما المسلمة فبالرغم من أننا نسلم بها مباشرة الا أنوضوحها يتوقف على ما يؤسس عليها من بناء رياضي منسجم.
- البديهية عامة أماالمسلمة خاصة : فلكل علم مسلماته بل قد تتعدد المسلمات في علم واحد كما هوالحال في مجال الهندسة .
- البديهية حكم تحليلي محمولها يدخل في تركيبالموضوع أما المسلمة فهي حكم تركيبي لأن محمولها لا يدخل في تركيب الموضوع بليضيف له.
مواطن التداخل: البديهيات مبادىء عقلية أولية و بالتالي فهيسابقة على المسلمة التي لا ينبغي أن تتنافى معها. لكن البديهية ليست كافيةلتأسيس علم ما ولذلك فان المسلمة مكملة لها باعتبارها قضايا أولية في العلم.
النتيجة:
ان شدة التداخل و التطابق الوظيفي بين البديهية و المصادرةجعل كثيرا من العلماء لا يميزون بينهما في العصرالحديث.
يقال: المادة الرياضيات هي اللغة التييجب أن تتكلم بها مختلف العلوم، ما رأيك!!.
مقدمة: تنقسم العلوم إلى شعبتينأساسيتين هما: علوم تجريبية تعتمد على الاستقراء كمنهج و على إجراء التجاربكوسيلة و هي تدرس الواقع الحسي، و علوم نظرية تعتمد على دراسة المعقولات وتتخذ الاستنتاج كمنهج كما هو حال المنطق و المادة الرياضيات فإذا علمنا أن العلومالمختلفة تعبر عن أفكارها بلغة المادة الرياضيات فالمشكلة المطروحة : * كيف نفسر ذلكو بتعبير أوضح؟ كيف نفسر خصوبة المادة الرياضيات و تأثيرها في العلومالمختلفة؟
المادة الرياضيات تفكير عقلي مجرد موضوعها دراسة الكم قال عنها ديكارتهي علم القياس موضوعها الكميات الموجودة و تعرف المادة الرياضيات على أنها هي علمالمقدار أو الكم القابل للقياس المتصل و المنفصل و الكم المتصل يتمثل فيالمكان أو الامتدادات الهندسية و الكم المنفصل يتمثل في الأعداد ـ الحساب- ومنها ما هو متغير القيمة و يسمى علم الحساب و منها ما هو متغير القيمة مثلاستخدام الحروف بدل الأعداد و هذا هو علم الجبر و المقصود بالكم القابلللقياس أن هناك بعض الكميات لا تقاس مثل الانفعالات التي لا تقبل عملياتالقياس . و رأت جماعة من الرياضيين الفرنسيين المعاصرين تعرف بجماعةنيوكولابروباكي أنه هناك اتفاق ساد إلى غاية القرن 19 على أن موضوع المادة الرياضياتهو ما قاله أفلاطون قديما هو الأعداد و المقادير والأشكال و كان قديما مايضاف إلى المادة الرياضيات الميكانيك و الفلك و البصريات و الموسيقى لكن الإغريقفصلوها عن المادة الرياضيات و ميزوها عن الحساب و الهندسة حتى جاء عصر النهضة فدخلتهذه العلوم سريعا في عداد العلوم المستقلة و للمادة الرياضيات مبادئ هي مجموعة منالقضايا العامة و الأولية التي يقبلها الرياضي دون برهان عليها قال عنهاأرسطو : هي ما يجب أن يتعلمه الطالب قبل تعلم العلم نفسه . و هي على ثلاثةأنواع مسلمات، تعريفات ، بديهيات .
من الناحية المادة التاريخية يعتبر فيثاغورسأبرز من تحدث عن أهمية المادة الرياضيات حيث قال في عبارة مجازية ( الأعداد تحكمالعالم) و معنى ذلك أن الكون قد صنع وفق حسابات رياضية و جاء من بعده أفلاطونو كتب على باب الأكاديمية (لا يدخلها إلا من أتقن المادة الرياضيات ) و الهدف واضحمن ذلك و هو غرس الأسلوب العلمي بين التفكير و مطالع العصر الحديث تجسدالاهتمام أكبر بالمادة الرياضيات حيث استعارت العلوم المختلفة اللغة الرياضية فأصبحتالمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية تستعمل الأرقام أو الحروف و هنا تسارع التطور داخل هذا العلم بل وباقي العلوم الأخرى و من هذا قال الفرنسي برغستون(العلم الحديث ابن المادة الرياضياتلم يتولد إلا بعدما صار الجبر مرنا قادرا على شبك الحقائق و الإيقاع بها فيشباكه) و أكثر من ذلك أصبحت المادة الرياضيات هي المرجعية التي نعود إليها عندمانريد التأكد من صحة أي علم و هذا ما نلاحظه في العلوم ط و المادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية حيث يتماستعمال المعدلات المادة الرياضيات و المنحنيات البيانية بل و حتى الرسومات لتوضيحالأفكار العلمية و من ثم البرهنة عليها قال أوجستت كونت ( المادة الرياضيات هيالأدلة الضرورية لكل العلوم ) و نستطيع أن نلخص مدى اهتمام العلوم المختلفةبالمادة الرياضيات فهي عبارة تؤكد ذلك حيث قال أوجست كونت ( المادة الرياضيات أكثر من علمإنها النظام العام للفكر و الأشياء).
تتجلى قيمة المادة الرياضيات في نقاط كثيرةو أول هذه العناصر لغة المادة الرياضيات إنها لغة كمية تعتمد على الأرقام و الحروف والثوابت والمتغيرات مما يجعلها لغة دقيقة نتيجة الإنفاق حول معاني الرموز وموضوعية لأن لا مجال فيها للعواطف و الأهوال و سريعة ومختصرة للوقت و الجهدقال عنها برغستون (المادة الرياضيات هي اللغة الوحيدة التي يجب أن يتكلم بها كل علم ) و من مزايا المادة الرياضيات أنها تتغير بمنهج منظم هو المنهج الاستدلالي مما يسهلاكتشاف الأخطاء و تصحيح نمذجي مفصلها بل أن المادة الرياضيات عبارة عن نسق يقبل التعديل والتفسير و نتائج المادة الرياضيات أكثر مصداقية و لهذا قيل إن العلوم المختلفة لاتطبق المادة الرياضيات بل تتضمنها .
ما الذي يميز الحقيقةالرياضية عن الحقيقة التجريبية ؟
المقدمة : إن غاية العلوم المختلفة هي الوصول إلى حقائق، تختلف بإختلاف طبيعة الموضوع فتكون مجردة كما هو الحال في المادة الرياضيات، أو تجريبية كما هو الحال بالنسبة لعلوم المادة . فما الذي يميز المادة الرياضيات عن علوم المادة ؟و ما الفرق بين الحقيقة الرياضية والحقيقة التجريبية ؟
التوسيع :. I – أوجه الاختلاف : تهتم المادة الرياضيات بدراسة المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس أما علوم المادة، فموضوعها الظواهر الطبيعية المختلفة الجامدة منها والحية.
إن اختلاف الموضوع يؤدي إلى اختلاف المنهج بحيث أن منهج المادة الرياضيات منهج عقلي استنتاجي، يقوم على استخراج النتائج من المقدمات اللاّزمة عنها لزومًا ضروريا ومنطقيا.لأن معيار الصدق في المادة الرياضيات هو تطابق الفكر مع ذاته دون مراعاة الواقع.
أما منهج العلوم الطبيعية فهو منهج إستقرائي ينتقل فيه العالم من دراسة العينات إلى إستخلاص القوانين وتعميمها. وهو منهج يعتمد على خطوات أساسية :
من ملاحظة – فرض رائعية – تجربة وقانون. وعليه فإن طريقة الرياضي إستنتاجية ينتقل فيها من العام إلى الخاص، أما طريقة العالم فهي إستقرائية ينتقل فيها من الخاص إلى العام.
إن نتائج المادة الرياضيات يقينية ثابتة لآن موضوعها المفاهيم العقلية المجردة ، التي لا يطرأعليها أي تغيير في حين أن نتائج علوم المادة ، نسبية متغيرة لآن موضوعها هو الواقع النسبي المتغير. وبما أن معيار الصدق فيها تطابق الفكر مع ذاته ومع الواقع كانت نتائجها نسبية متغيرة. لهذا يقول " كلود برنار" : إن مبدأ العالم الرياضي يصير مبدأ مطلقا لآنه لا ينطبق على الواقع الموضوعي كما هو، ولكن على علاقات الأشياء المأخوذة في شروط بسيطة يختارها الرياضي ويخلقها في فكرة بشكل من الأشكال.لكن هذا الإختلاف لا يعني عدم وجود عناصر مشتركة بينهما.
أوجه الشبه : كل من الرياضي وعالم المادة يفترض، ثم يستدل على صحة ما إفترض، وكلاهما ينطلق من فكرة يعرفها العقل.
الخاتمة :
نسبة الترابط : إن المادة الرياضيات تعتبر مثل أعلى لجميع العلوم الواقعية التجريبية . نظرًا لدقتها ويقينها.ولذا تصاغ كل القوانين العلمية في قالب رياضي . وكمي، كما هو الحال بالنسبة للمادة العلوم الفيزيائية و التكنولوجية، كصياغة "غاليلي" لقانون سقوط الأجسام في لغة رياضية. وكذلك" مندل "عندما صاغ قوانين الوراثة على شكل نسب مئوية....إلخ. ومنه فإن التعارض بين المادة الرياضيات وعلوم المادة تعارض زائف لهذا رفض" غاستون باشلار" الفصل بينهما.
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/hphotos-ak-ash4/482113_236967293114455_1193518507_n.png (http://www.dzbatna.com)
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى (http://www.dzbatna.com)©
