Chakira
11-04-2013, بتوقيت غرينيتش 04:39 AM
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem bem شهادة التعليم المتوسط
شكرا يا أستاذ لكن عندي وحدة الاشكالية في حل معادلة من الدرجة الثالثة لاني انا انتقل الي السنة الاولى من التعليم الثانوية واحب الاطلاع كثيرا على الموضيع وفجأة صادمتني معادلة من الدرجة االثالثة حاولتوا فهمها من خلال اليوتيوب ولكن لم افهمها جيدا اريد توضيح اكثر لو سمحت يا أ ستاذ
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem bem شهادة التعليم المتوسط
بالنسبة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/f/c/2/fc2b58fd567997a7cee66cab84ac4ba4.png
هذا النوع من المعادلات يسمى معادلة حدودية أو معادلة احد اطرفها كثير حدود وعلى ما أظن قد اطلاعتي عليها :
http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%...AF%D9%8A%D8%A9 (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AD%D8%AF% D9%88%D8%AF%D9%8A%D8%A9)
في المادة الرياضيات، المعادلات الحدودية أو معادلات متعددات الحدود (بالإنكليزية: Polynomial equations) هي معادلات تأخذ الشكل التالي:
http://upload.wikimedia.org/math/f/c/0/fc03f47cba9d5426f17b00ef092a92b4.png
حيث http://upload.wikimedia.org/math/7/d/5/7d563b1aba9641707c79d7165a0ec80f.png, معاملات المعادلة, والهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول http://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.png ونقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة لـ http://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.png تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة لhttp://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.pngهي اثنين وهكذا دواليك. إذن نقول أن كثيرة الحدود من الدرجةhttp://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png إذا كانت أعلى قوة ل http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png هي http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png. وتقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدوددية من الدرجة http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.pngيوجد عدد http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.pngمن الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكلhttp://upload.wikimedia.org/math/1/f/2/1f2e81e3e02f571c186527b3caae03e4.png وآخر في شكل http://upload.wikimedia.org/math/3/4/3/343f9d267f5e5b1b11802488509e0aef.png. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.
توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر
إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
http://upload.wikimedia.org/math/6/3/5/6352722faadef3ae6bdef748efe12eb8.png
فإن الحل هوhttp://upload.wikimedia.org/math/3/7/9/379ad56e2bf992c153f68babf40917bc.png ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
http://upload.wikimedia.org/math/1/6/d/16dbf7dd9f88761251a5dc061384cacf.png
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل http://upload.wikimedia.org/math/3/7/9/379ad56e2bf992c153f68babf40917bc.pngمكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا
http://upload.wikimedia.org/math/7/9/0/7901fd8ada451d3963c7b63d81bc9fa7.png
فإن الحل هو http://upload.wikimedia.org/math/0/7/6/076b4b72cf4d85f2be324ef6a7648191.png ولكنه مكرر http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجةhttp://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png عدد http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png من الحلول
طرق حل معادلات كثيرة الحدود
المعادلة من الدرجة الأولى
حل المعادلة:http://upload.wikimedia.org/math/3/e/4/3e44794bb214b611892bbc074b4a76a3.png هو http://upload.wikimedia.org/math/f/9/f/f9f7be07cb58e89c1f51901387cdd677.png حيث http://upload.wikimedia.org/math/d/b/c/dbcde95e34541d909bf6bc1694345201.png, ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:- مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل: س+5-5=10-5 وبالاختصار نجد أن: س=5 بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10 وهذا كايلي : 5+5=10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5 ومنه : س=5
المعادلة من الدرجة الثانية
لحل المعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f612c5e12957b5fd4bae32b6c6e8bfe.png, نحسب المميز http://upload.wikimedia.org/math/a/3/e/a3e26731c00f98f498ba46988315399a.pngالمعرف ب: http://upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04.png, ويكون للمعادلة حلان هما:
http://upload.wikimedia.org/math/0/4/9/049fc37b02c30a75e142de4e77144d4c.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/6/c/86ce0b66485589f7294edd1c748e0302.png
المعادلة من الدرجة الثالثة
طريقة كاردان
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالةhttp://upload.wikimedia.org/math/4/2/2/422f48e7f99b454a17db67544dd709a8.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/d/2/5/d2513a647093213565ca23d78ebfd7b1.png حلول المعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93a3880c3a92485843d36866b009c689.png. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
صيغ كاردان
بالنسبة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283.png, نحسب http://upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png,, ثم ندرس إشارته.
Δ موجب
نضع
http://upload.wikimedia.org/math/e/7/6/e76173bddab23ed6f1463eeadfba1f63.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/8/5/885e4b9cd087bc15ba9481b8d78d96e7.png
الحل الوحيد الحقيقي هو:
http://upload.wikimedia.org/math/1/a/c/1acdf29f701389496168858ae1231915.png
و حلان عقديان مترافقان:
http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d80ff6386df65c103bd1a68c01f1a400.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/0/c/50cb3fe295242bb81aa3e00f91f675f2.png
حيث
http://upload.wikimedia.org/math/f/0/5/f0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf.png
Δ سالب
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب لـhttp://upload.wikimedia.org/math/3/5/9/359e4ee5252478444fb4d70b4955a09f.png
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d65dd179ae430b4050314cfc59ab67a6.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/e/ade3257c1b2ab199be4639f21a1207c8.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/5/7/65744a8e20b5c7d89f77eaffc875692b.png
تفسير الطريقة
الصيغة المختصرة
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/e/2/5/e2541975a91ef33d6b4af08dd31d8c6e.png
نضع:
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509.png
لنحصل على الصيغة:
http://upload.wikimedia.org/math/0/6/c/06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5.png
نضع الآن:
\http://upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b3c61048ba6671b72bb934117868d05.pngالآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485864024f394818dae85414a88013d8.png تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e.png شرط التبسيط يكون إذن:
http://upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8930b016d3d442067267e37059d022.pngالذي يعطي من جهة:
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54d10bc1db3d4903c113134d441402b1.png و من جهة أخرى:
http://upload.wikimedia.org/math/f/b/1/fb1300947af438fee54b0315965e70ca.pngو عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين http://upload.wikimedia.org/math/4/5/8/458a01fcf3907289016cf2ef6f979617.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/5/d/8/5d8956be4259288a99dafa9bf8a7b8ff.png الآتية :
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png
http://upload.wikimedia.org/math/4/5/8/458a01fcf3907289016cf2ef6f979617.pngوhttp://upload.wikimedia.org/math/5/d/8/5d8956be4259288a99dafa9bf8a7b8ff.png هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
http://upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470.png
يرجي كتاب كاملة الصيغ المادة الرياضيات مع ادراجها على شكل صور في المنتدى من خلال الموقع التالي
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
يتبع ....إن شاء الله .......
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/hphotos-ak-ash4/482113_236967293114455_1193518507_n.png (http://www.dzbatna.com)
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى (http://www.dzbatna.com)©
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem bem شهادة التعليم المتوسط
شكرا يا أستاذ لكن عندي وحدة الاشكالية في حل معادلة من الدرجة الثالثة لاني انا انتقل الي السنة الاولى من التعليم الثانوية واحب الاطلاع كثيرا على الموضيع وفجأة صادمتني معادلة من الدرجة االثالثة حاولتوا فهمها من خلال اليوتيوب ولكن لم افهمها جيدا اريد توضيح اكثر لو سمحت يا أ ستاذ
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem bem شهادة التعليم المتوسط
بالنسبة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/f/c/2/fc2b58fd567997a7cee66cab84ac4ba4.png
هذا النوع من المعادلات يسمى معادلة حدودية أو معادلة احد اطرفها كثير حدود وعلى ما أظن قد اطلاعتي عليها :
http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%...AF%D9%8A%D8%A9 (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AD%D8%AF% D9%88%D8%AF%D9%8A%D8%A9)
في المادة الرياضيات، المعادلات الحدودية أو معادلات متعددات الحدود (بالإنكليزية: Polynomial equations) هي معادلات تأخذ الشكل التالي:
http://upload.wikimedia.org/math/f/c/0/fc03f47cba9d5426f17b00ef092a92b4.png
حيث http://upload.wikimedia.org/math/7/d/5/7d563b1aba9641707c79d7165a0ec80f.png, معاملات المعادلة, والهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول http://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.png ونقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة لـ http://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.png تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة لhttp://upload.wikimedia.org/math/0/4/5/045d3319ab8d3454ce56da55f12b8e03.pngهي اثنين وهكذا دواليك. إذن نقول أن كثيرة الحدود من الدرجةhttp://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png إذا كانت أعلى قوة ل http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png هي http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png. وتقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدوددية من الدرجة http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.pngيوجد عدد http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.pngمن الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكلhttp://upload.wikimedia.org/math/1/f/2/1f2e81e3e02f571c186527b3caae03e4.png وآخر في شكل http://upload.wikimedia.org/math/3/4/3/343f9d267f5e5b1b11802488509e0aef.png. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.
توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر
إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
http://upload.wikimedia.org/math/6/3/5/6352722faadef3ae6bdef748efe12eb8.png
فإن الحل هوhttp://upload.wikimedia.org/math/3/7/9/379ad56e2bf992c153f68babf40917bc.png ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
http://upload.wikimedia.org/math/1/6/d/16dbf7dd9f88761251a5dc061384cacf.png
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل http://upload.wikimedia.org/math/3/7/9/379ad56e2bf992c153f68babf40917bc.pngمكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا
http://upload.wikimedia.org/math/7/9/0/7901fd8ada451d3963c7b63d81bc9fa7.png
فإن الحل هو http://upload.wikimedia.org/math/0/7/6/076b4b72cf4d85f2be324ef6a7648191.png ولكنه مكرر http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجةhttp://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png عدد http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54dc3b2d1109987ebf40f3030131b8e5.png من الحلول
طرق حل معادلات كثيرة الحدود
المعادلة من الدرجة الأولى
حل المعادلة:http://upload.wikimedia.org/math/3/e/4/3e44794bb214b611892bbc074b4a76a3.png هو http://upload.wikimedia.org/math/f/9/f/f9f7be07cb58e89c1f51901387cdd677.png حيث http://upload.wikimedia.org/math/d/b/c/dbcde95e34541d909bf6bc1694345201.png, ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:- مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل: س+5-5=10-5 وبالاختصار نجد أن: س=5 بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10 وهذا كايلي : 5+5=10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5 ومنه : س=5
المعادلة من الدرجة الثانية
لحل المعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f612c5e12957b5fd4bae32b6c6e8bfe.png, نحسب المميز http://upload.wikimedia.org/math/a/3/e/a3e26731c00f98f498ba46988315399a.pngالمعرف ب: http://upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04.png, ويكون للمعادلة حلان هما:
http://upload.wikimedia.org/math/0/4/9/049fc37b02c30a75e142de4e77144d4c.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/6/c/86ce0b66485589f7294edd1c748e0302.png
المعادلة من الدرجة الثالثة
طريقة كاردان
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالةhttp://upload.wikimedia.org/math/4/2/2/422f48e7f99b454a17db67544dd709a8.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/d/2/5/d2513a647093213565ca23d78ebfd7b1.png حلول المعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93a3880c3a92485843d36866b009c689.png. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
صيغ كاردان
بالنسبة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283.png, نحسب http://upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png,, ثم ندرس إشارته.
Δ موجب
نضع
http://upload.wikimedia.org/math/e/7/6/e76173bddab23ed6f1463eeadfba1f63.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/8/5/885e4b9cd087bc15ba9481b8d78d96e7.png
الحل الوحيد الحقيقي هو:
http://upload.wikimedia.org/math/1/a/c/1acdf29f701389496168858ae1231915.png
و حلان عقديان مترافقان:
http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d80ff6386df65c103bd1a68c01f1a400.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/0/c/50cb3fe295242bb81aa3e00f91f675f2.png
حيث
http://upload.wikimedia.org/math/f/0/5/f0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf.png
Δ سالب
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب لـhttp://upload.wikimedia.org/math/3/5/9/359e4ee5252478444fb4d70b4955a09f.png
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d65dd179ae430b4050314cfc59ab67a6.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/e/ade3257c1b2ab199be4639f21a1207c8.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/5/7/65744a8e20b5c7d89f77eaffc875692b.png
تفسير الطريقة
الصيغة المختصرة
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: http://upload.wikimedia.org/math/e/2/5/e2541975a91ef33d6b4af08dd31d8c6e.png
نضع:
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509.png
لنحصل على الصيغة:
http://upload.wikimedia.org/math/0/6/c/06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5.png
نضع الآن:
\http://upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b3c61048ba6671b72bb934117868d05.pngالآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485864024f394818dae85414a88013d8.png تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e.png شرط التبسيط يكون إذن:
http://upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8930b016d3d442067267e37059d022.pngالذي يعطي من جهة:
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54d10bc1db3d4903c113134d441402b1.png و من جهة أخرى:
http://upload.wikimedia.org/math/f/b/1/fb1300947af438fee54b0315965e70ca.pngو عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين http://upload.wikimedia.org/math/4/5/8/458a01fcf3907289016cf2ef6f979617.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/5/d/8/5d8956be4259288a99dafa9bf8a7b8ff.png الآتية :
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png
http://upload.wikimedia.org/math/4/5/8/458a01fcf3907289016cf2ef6f979617.pngوhttp://upload.wikimedia.org/math/5/d/8/5d8956be4259288a99dafa9bf8a7b8ff.png هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
http://upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470.png
يرجي كتاب كاملة الصيغ المادة الرياضيات مع ادراجها على شكل صور في المنتدى من خلال الموقع التالي
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
يتبع ....إن شاء الله .......
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/hphotos-ak-ash4/482113_236967293114455_1193518507_n.png (http://www.dzbatna.com)
©المشاركات المنشورة تعبر عن وجهة نظر صاحبها فقط، ولا تُعبّر بأي شكل من الأشكال عن وجهة نظر إدارة المنتدى (http://www.dzbatna.com)©
